干货 | FIR数字滤波器设计（上）

今天给大侠带来FIR数字滤波器设计，由于篇幅较长，分三篇。今天带来第一篇，数字滤波器介绍，包括数字滤波器概述、分类以及设计指标。话不多说，上货。

数字滤波器的输入输出均为数字信号，信号通过数字滤波器后，可以改变频率成分的相对比例或滤除某些频率成分。数字滤波器可以分为IIR数字滤波器和FIR数字滤波器。

本篇只介绍FIR数字滤波器的设计，可以根据所给定的频率特性直接设计FIR数字滤波器。FIR数字滤波器在保证幅度特性满足要求的同时，能够做到严格的线性特性。

本篇采用了窗函数法、频率采样法以及基于firls函数和remez函数的最优化方法设计FIR滤波器。对FIR滤波器进行了详细的理论分析，并且对应于每种方法都给出了设计实例。通过编写MATLAB语言程序，运行程序，得到幅频和相频特性图。

对于窗函数和firls函数设计的滤波器，还通过建立Simulink系统模块进行仿真，观察滤波器滤波情况。

数字滤波器
一、数字滤波器的概述
所谓数字滤波器，是指输入输出均为数字信号，通过一定的运算关系，改变输入信号中所含频率成分的相对比例，或滤除某些频率成分的器件。数字滤波器具有稳定性高、精度高、灵活性大等突出优点。对于数字滤波器而言，若系统函数为H(z),其脉冲响应为h(n),输入时间序列为x(n),则它们在时域内的关系式（1-1）如下：

在Z域内，输入和输出存在如下关系式（1-2）：

上式中， X(z)、Y(z)分别为x(n)和y(n)的Z变换。

在频域内，输入和输出则存在如下关系（1-3）：     

上式中，是数字滤波器的频率特性；

和分别为x(n)和y(n)的频谱，而为数字角频率。

另一类称为现代滤波器，如维纳滤波器、卡尔曼滤波器等，其输入信号中有用信号和希望滤除的频带成分重叠。对于经典滤波器，从频域上也可以分为低通、高通、带通和带阻滤波器。

从时域特性上看，数字滤波器还可以分为有限脉冲响应（FIR，finite impulse response）数字滤波器和无限脉冲响应（IIR, infinite impulse response）数字滤波器[5]。

对于有限脉冲响应（FIR）数字滤波器，其输出y(n)只取决于有限个过去和现在的输入，x(n),x(n-1),…,x(n-m),滤波器的输入输出关系可表示为表达式（1-4），如下：

对于无限脉冲响应（IIR）数字滤波器，它的输出不仅取决于过去和现在的输入，而且还取决于过去的输出，其差分方程为表达式（1-5），如下：

该差分方程的单位冲激响应是无限延续的。

三、数字滤波器设计指标

设数字滤波器的传输函数用下式（1-6）表示：

式中，为幅频特性，为相频特性。幅频特性表示信号通过滤波器后各频率成分的衰减情况，相频特性则反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。通常，选频滤波器的指标要求都以幅频特性给出，对相频特性不作要求，如果需要对输出波形有严格要求，如语音合成、波形传输等，则要求设计线性相位数字滤波器。

数字滤波器的参数指标是、、和。和分别称为通带截止频率和阻带截止频率。通带和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，通带内允许的最大衰减用表示，阻带内允许的最小衰减用表示，和分别定义为关系式（1-7）和关系式（1-8）：