冲激响应

冲激响应是信号处理领域中的一个重要概念，描述了系统对单位冲击信号的响应过程。在时域中，冲激响应等价于系统的脉冲响应。冲激响应经常被用来分析和设计信号处理系统，例如滤波器、均衡器等。

1.冲激响应是什么

冲激响应是指线性时不变系统对单位冲击信号的响应函数。单位冲击信号是一个幅度为1，宽度极窄的信号，其在时间区间内有一个高斯形状或非常尖锐的峰值。任何信号可以看作是许多单位冲击信号的叠加。

假设一个线性时不变系统的输入为x(t)，输出为y(t)，则其冲激响应可表示为：

h(t) = y(t), when x(t) = δ(t)

其中δ(t)为单位冲击信号，因为只有在这种情况下系统对信号的响应是唯一确定的。

2.冲激响应分类

根据特性，冲激响应可以分为有限长冲激响应和无限长冲激响应两种。

有限长冲激响应指系统对单位冲击信号的响应是有限长的，即在某个时间段内响应完毕。这种响应通常出现在数字滤波器中，其系统函数具有有理函数形式。

无限长冲激响应指系统对单位冲击信号的响应是无限长的，响应将一直存在于时间轴上。这种响应通常出现在连续时间系统中，其系统函数具有分数阶或者幂函数的形式。

3.冲激响应形成条件

在系统模型中，要求系统必须是线性时不变的，否则不能使用冲激响应来描述其响应特性，而需要使用其他方法来区分和描述。因此，当我们想要使用冲激响应来解析系统时，必须先检验系统是否满足线性时不变特性。

系统的线性时不变特性取决于如下两个条件：

• 线性：系统的输出必须满足叠加原理，即对于任意xi(t)和xi1(t)，其输出y1(t)=x1(t)*h(t), y2(t) = x2(t)*h(t)，则y(t)=c1*y1(t)+c2*y2(t) = c1*x1(t)*h(t)+c2*x2(t)*h(t) = (c1*x1(t)+c2*x2(t))*h(t)。
• 时不变：系统的输出必须和时间t无关，即对于所有输入信号xi(t)和时间t0，其输出为y(t)=x(t-t0)*h(t)