传递函数的定义和性质 传递函数的三种表达式

1.传递函数的定义和性质

传递函数是指在线性时不变系统中输入信号经过系统后输出信号与输入信号之间的关系表达式。它具有线性和时不变性两个基本特性，还具有因果性、稳定性和可逆性等重要性质。

线性性质意味着系统对于输入信号具有可加性和齐次性，即如果一个输入信号在系统中产生了一定的响应，那么两个输入信号叠加后也会分别产生相应的响应；如果输入信号的幅度增加了k倍，相应的响应也会增加k倍。

时不变性质意味着系统对于同样的输入信号，在不同的时间段内都会产生相同的响应，即系统的响应只依赖于瞬时输入值，而不依赖于时间。因此，可以通过测量系统对于各种标准输入所产生的响应来确定线性时不变系统的传递函数。

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2.传递函数的三种表达式

传递函数有多种表达方式，其中比较常用的是时域表达式、复频域表达式和极点零点表达式。

时域表达式指的是系统输入和输出之间的微分方程或差分方程，通过求解该方程可以得到系统的完整响应。由于求解微分方程或差分方程比较复杂，所以通常不会直接采用此种表达方式。

复频域表达式指的是系统的传递函数在复平面上的表示，即把传递函数看作复变量的函数，绘制出其实部和虚部随着复频率变化的曲线。复频域分析方法非常适合于对于系统频带宽度和稳定性进行分析，但对于确定系统精确响应还需要进行反变换得到时域响应。

极点零点表达式则是将传递函数表示成分子式和分母式的乘积形式，分别称为零点与极点。利用这种表达方式可以直观地了解系统的稳定性和响应特性，在控制系统设计中也非常有用。

传递函数作为描述线性时不变系统响应的数学工具，是控制理论中重要的概念之一。在实际应用中需要根据不同的场景采用合适的表达方式来确定系统的传递函数，以便进一步分析其特性、设计和优化控制算法。