度量矩阵

度量矩阵是数学中的一个概念，它表示了一组向量之间的距离或相似性。在机器学习和数据分析等领域，度量矩阵被广泛应用于流形学习、聚类分析、降维以及各种分类问题的解决。

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1.度量矩阵是什么

度量矩阵是指对于给定的向量空间V中的向量，定义了一种二元函数（也称为距离）$d(x,y)$, 其中 $x$ 和 $y$ 是V中的任意两个元素，
该函数满足以下性质：

• $d(x,y) ge 0$ : 定义的距离非负
• $d(x,x) = 0$ : 自反性
• $d(x,y) = d(y,x)$ : 对称性
• $d(x,z) le d(x,y) + d(y,z)$ : 三角不等式

度量矩阵通常用矩阵$M$表示，其中$M_{i,j}$ 表示向量$i$和向量$j$之间的距离。 如果度量矩阵表示Euclidean距离，则称该矩阵为欧氏度量矩阵。

2.度量矩阵的性质

度量矩阵具有以下性质：

• 对角线上均为0：每一个向量都与自身的距离为0。
• 非负性：度量矩阵中的元素均为非负数。
• 对称性：矩阵中的第$i$行第$j$列和第$j$行第$i$列相等，即$M_{i,j}=M_{j,i}$。
• 三角不等式：对于任意的向量$x,y,zin V$，都有$d(x,z)leq d(x,y)+d(y,z)$。

3.度量矩阵一定是正定矩阵吗

并非所有的度量矩阵都是正定的。 一个实数$nimes n$ 矩阵$M$ 是正定的，当且仅当所有实数向量$xin mathbb{R}^{n}$满足$x^TMx>0$。
因此，如果所有的特征值（eigenvalues）均为正，那么度量矩阵就是正定的。反之亦然。