干货 | FIR数字滤波器设计（中）

今天给大侠带来FIR数字滤波器设计，由于篇幅较长，分三篇。今天带来第二篇，FIR数字滤波器设计基础，包括FIR数字滤波器的特点、线性相位条件以及基本结构。话不多说，上货。

数字滤波器的输入输出均为数字信号，信号通过数字滤波器后，可以改变频率成分的相对比例或滤除某些频率成分。数字滤波器可以分为IIR数字滤波器和FIR数字滤波器。

本篇只介绍FIR数字滤波器的设计，可以根据所给定的频率特性直接设计FIR数字滤波器。FIR数字滤波器在保证幅度特性满足要求的同时，能够做到严格的线性特性。

本篇采用了窗函数法、频率采样法以及基于firls函数和remez函数的最优化方法设计FIR滤波器。对FIR滤波器进行了详细的理论分析，并且对应于每种方法都给出了设计实例。通过编写MATLAB语言程序，运行程序，得到幅频和相频特性图。

对于窗函数和firls函数设计的滤波器，还通过建立Simulink系统模块进行仿真，观察滤波器滤波情况。

FIR数字滤波器设计基础

一、FIR数字滤波器的特点
FIR滤波器在保证幅度特性的同时，很容易做到严格的线性相位特性。

在数字滤波器中，FIR滤波器的最主要特点是没有反馈回路，故不存在不稳定的问题。

同时，在幅度特性可以任意设置的同时，保证了精确的线性相位。

稳定和线性相位是FIR滤波器的突出优点。

另外还有以下特点：

• 设计方式是线性的；

• 硬件容易实现；

• 滤波器过渡过程具有有限区间；

• 相对IIR滤波器而言，阶次较高，其延迟也要比同样性能的IIR滤波器大得多。

二、FIR数字滤波器的线性相位条件

设滤波器单位脉冲响应的长度为N，系统函数为关系式（2-1），如下：

由此式可见，H(z)是的(N-1)次多项式,它在Z平面上有(N-1)个零点，原点z=0是(N-1)阶重极点，位于r =1的单位圆内，系统永远稳定。稳定性和线性相位特性是FIR滤波器的突出优点。

FIR滤波器的设计任务是选择有线长度的h(n)，使传输函数满足要求。

线性相位条件为关系式（2-2），如下：

对于长度为N的h(n)，传输函数为关系式（2-3），如下：

上式中,称为幅度特性，称为相位特性。线性相位是指相位函数满足如下特性：

或

是起始相位，为常数，一般称第一种情况为第一类线性相位，称第二种情况为第二类线性相位。

满足第一类线性相位的充要条件是：h(n)为实序列，并且对(N-1)/2偶对称，

即：

；

满足第二类线性相位的充要条件是：h(n)为实序列，并且对(N-1)/2奇对称。

即：

。

三、FIR数字滤波器的基本结构

FIR滤波器的基本结构有以下几种：直接型、级联型、线性相位型、频率采样型。

1、直接型

设FIR滤波器的单位冲击响应h(n)为一个长度为N的序列，则滤波器系统函数为关系式（2-4），如下所示：

表示这一系统输入输出关系的差分方程为关系式（2-5），如下所示：

直接由差分方程可得出对应的网络结构如图2-1所示：

图2-1  FIR滤波器的直接型结构

直接型结构的优点：简单直观，乘法运算量较少。

缺点：调整零点较难。

2、级联型

当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)分解为实系数二阶因子的乘积形式，见关系式（2-6），如下所示：

上式中，为的 变换，，，为实数。级联型结构如图2-2所示：

图2-2  FIR滤波器的级联型结构

该结构的优点：调整零点比直接型方便。

缺点：中的系数比直接型多，因而需要的乘法器多。当的阶次高时，也不易分解。

3、线性相位型结构

FIR滤波器的线性相位结构有偶对称和奇对称，不论为偶对称还是奇对称都有：

当N为偶数时，系统函数为关系式（2-7），如下所示：

当N为奇数时，系统函数为关系式（2-8），如下所示：

对这两种情况，都可以用FIR直接型实现，其信号流图如图2-3所示。

(a)N为偶数

(b)N为奇数

图2-3  线性相位型结构

这种结构在本质上是直接型，但乘法次数比直接型省了一半。

4、频率采样型

频率采样型结构是一种用系数将滤波器参数化的一种实现结构。一个有限长序列可以由相同长度频域采样值惟一确定。

系统函数在单位圆上作N等分取样就是单位取样相应h(n)的离散傅里叶变换。与系统函数之间的关系可用内插公式表示，为关系式（2-9），如下所示：

上式中，

这样，是由梳状滤波器和N个一阶网络的并联结构进行级联而成的，其网络结构（信号流图）如图2-3所示。是一个梳状网络，其零点为：

,    k= 0, 1，2…，N-1

刚好和极点一样，等间隔地分布在单位圆上。理论上，极点和零点相互抵消，保证了网络的稳定性。

图2-5  FIR滤波器的频率采样结构

频率采样结构的优点：

1)在频率采样点，，只要调整就可以有效地调整频响特性。

2）只要长度N相同，对于任何频响，其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分完全相同，只是各支路增益不同。相同部分便于标准化、模块化。

缺点：

1）寄存器长度都是有限的，零、级点可能不能正好抵消，造成系统不稳定。

2）当N很大时，其结构很复杂，需要的乘法器和延时单元很多。

第二篇就到这里，下一篇带来第三篇，FIR数字滤波器设计，包括窗函数法设计FIR滤波器、频率采样法设计FIR滤波器以及基于firls函数和remez函数的最优化方法设计FIR滤波器。