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为了以有效的方式呈现数值结果，选择了一种硅材料进行数值评估，表1中列出了其以国际单位表示的参数
表1 硅的物理材料参数（以SI单位表示）
为了反演上述方程中的拉普拉斯变换。（64）-（65），我们采用了基于傅立叶级数展开的数值反演方法。52-58中列出了用于在物理域中找到解的数值反演方法。FORTRAN编程语言生成了数值代码。MATLAB软件具有强大的图形功能，可以直观地表示数值结果，在数值算法中保持十位数的精度。
图 1、2、3 显示温度、位移和应力的作用符合广义热弹性理论，该理论预测小时间的有限速度，并且行为类似于耦合理论，该理论预测大时间的无限速度。
图1
图2
图3
图1显示了无量纲温度的变化
对x-轴代表三个不同的时间时刻，即t=0.1,0.2和t=0.3我们观察到，在任何固定时间，温度分布在边界处达到最大值，与使半空间边界表面受到热冲击的热边界条件一致。在介质内部，这些值会慢慢衰减。对于小值的时间（t=0.10，say），值降至零，并且由于热波的影响，急剧温度降至零。这种行为与广义热弹性理论一致，该理论预测了短时间的有限波速。在较长的时间值（t=0.2or0.3），温度曲线与耦合理论一致，表现出无限速传播的特性。这种转变表明，最初，热效应是局部的，但在更长的时间内，这些效应会迅速扩散到整个材料中。
图 2 描述了无量纲位移的变化
对x-轴代表三个不同的时间时刻，即t=0.1,0.2和t=0.3我们注意到，对于任何固定的时间值，位移在边界处记录一个负值。该初始值表示对热输入的显着机械响应。然后，位移值随距离增加，达到其最大正值，然后逐渐减小到零。此外，当时间值增加时，整个域和切割的位移大小增加x-轴最近，表示机械变形速率的增加。我们绘制图。图3说明无量纲应力分量的变化
与距离x在不同的时间值。最初，应力分布在表面附近显示出急剧的梯度，表明由于热效应而产生显着的应力。对于任何固定的时间值，应力的大小从边界处的零值增加到最大值，然后随着距离的增加而减小，最后减小到零。在无量纲温度分布和非有量纲应力分布中，热波和机械波之间的这种双向相互作用表明，硅的热响应和机械响应相互作用是多么复杂。此外，对于较小的时间值，热波前和机械波前的位置在图中重合。1 和 3.这证明了所提供的数值计算的准确性。
图4显示了载流子密度的非量纲分布
对x-轴表示三个不同的时间时刻，即t=0.1,0.2和t=0.3，在边界x=0，表面附近有高浓度的颗粒，随着它们扩散到硅介质的更深处，颗粒浓度会降低。温度升高导致电子从价带到导带的运动增加，从而导致电导率的提高和电阻的降低。这种行为符合半导体物理学的原理，其中温度的升高对自由电荷载流子的数量有重大影响。这种现象表明了温度对载流子运动的影响。
图4
图5显示了电流载流子的非量纲分布
对x-轴表示三个不同的时间时刻，即t=0.1,0.2和t=0.3，在边界处，表面有较大的电流载流子值，当它们进入介质时，电流载流子值会减小。初始值表示电流载流子对热激励的迅速反应。随着时间的流逝，载流子更多地渗透到硅中，导致原始值降低，这表明载流子正在扩散到整个材料中。
图5
图6显示了无量纲电化学势能的分布
对于不同的时间值。材料表面具有最大的势能，随着深入物质，势能逐渐减小到零。观察到的模式表明化学势和距离呈负相关。
图6
根据费米-狄拉克分布，化学势（代表电子进入系统所需的能量）决定了能级被占用的概率。化学势对载流子浓度有直接影响，载流子浓度由价带中的空穴和导带中的电子组成。
检查在图中获得的结果的验证。图5和图6，我们可以表示不同时间值的化学势和电流载流子之间的关系（见图1）。图7显示了无量纲电流载流子之间的相关性
和电化学势能
在半导体材料中的不同时间值下。该分布说明了电流载流子和电化学势之间的相互依赖性，其中一种实体的变化会影响另一种实体。
图7
基于图8、9和10，可以看出，所展示的函数的轮廓在一段延迟时间后开始，在此期间，波到达介质内部的深处。
随着x值的增加，波开始的时间较晚，并进一步传播到介质中。这种现象与物理现实是一致的，因为随着时间的推移，波进一步渗透到介质中，波前最终达到更大的深度。
此外，与较深的距离相比，函数的值在较短的距离（较小的x）下具有较大的幅值。图8显示了硅介质内不同深度的无量纲电流密度N（x，t）。颗粒的浓度随着深度的增加而降低，表明存在扩散过程。
波浪到达深度增加延迟的现象与波浪传播的物理现象一致。类似于颗粒的扩散，电流载流子的浓度随着深度和持续时间的增加而减少，如图9所示。通过观察图8和图9，很明显，随着载流子通过扩散扩散扩散到介质中，边界表面上的高浓度减小。这种分布支持半导体中电荷载流子动力学的理论模型，其中热刺激导致载流子向更深区域的渐进运动。
图8
图9
图10
图10表明，电化学势能的分布随时间增长，表明电化学势能在介质内部逐渐积累。随着介质深度的增加，电化学势能减小。这种行为可以归因于扩散和传输机制，其中分布由势能梯度驱动并最终达到稳定状态。
粒子扩散弛豫时间 
：对当前载体的意义和影响
在理想的情况下，流经半导体的载流子应该具有连续的功能。这一假设简化了理论模型和电路分析，使我们能够应用欧姆定律和基尔霍夫定律等公认的原理。然而，在某些实际情况下，当前载波可能出现不连续或包含快速转换。这种情况源于建模假设的固有限制、制造缺陷或先进电子系统中发生的复杂交互。因此，在我们的模型中，有必要解决理论模型在解释这一现象时的局限性。因此，需要修改欧姆定律，如等式（34）所述。为了根据颗粒扩散弛豫时间的不同值来研究这种改性的效果，视频S1显示介质内部的电流载流子分布I（x，t），其在0到0.2之间变化。我们注意到，对于
=0，电流载流子表现为与理论模型一致的光滑连续函数。然而，对于
＞0，电流载流子在波前位置的值发生突然跳跃，这随着
的增加而变得更加明显。这涵盖了几种实验情况，其中
是一个任意常数，根据不同的物理环境取特殊值。
与许多早期模型相比，验证我们的数学模型。
在本节中，我们将介绍一个基于特定数学参数的广义数学模型
我们可以使用这个模型来推导每个早期的模型，作为特例，包含在表2中。建议的控制方程如下：
其中
是弹性耦合因子。
表2 建议模型与先前模型的极限情况。
通过代入前面方程（43）中的无量纲变量，我们得到
其中
我们在“问题的公式化”一节中使用相同的方法获得了以前各种模型的解决方案，但为了避免扩大文章的篇幅，我们在这里不介绍它们。表3、表4、表5对于验证我们模型的精度至关重要。它们使我们能够通过检查不同位置（x）和两个时刻（t=0.05，t=0.10）的无量纲温度、应力和电流载流子分布，将我们的模型（I）与其他模型（II，III）进行比较。这些比较强调了模型准确预测温度和应力行为的能力。
表3 不同位置的无量纲温度分布（x）和两个瞬间时间（t=0.05，t=0.10）
表4
表5
图11、图12表示无量纲物理变量场的上述不同模型（模型I，黑线）、（模型II，蓝线）和（模型III，红线）之间的比较，即无量纲温度分布（见图11a、图11b）、无量纲应力分布（见图图11c、图11d）、无因次位移（见图12a、图12b）和无量纲粒子数（如图12c、图12d）。在这些图中，标记（a）和（c）表示小时间（t=0.05）的情况，而由（b）和（d）标记的标记表示大时间（t=1）的情况。广义模型III的无量纲弛豫参数取为=
=0.02，而我们的模型I的这些值为
=0.02，
=0.01。
图11
图12
从这些数字中，我们注意到
在我们的模型中，小时间值的温度分布具有有限的速度，而其他模型预测的是无限速度，并且波前位置出现在x=0.35这一优势使我们的模型与众不同，而其他两个模型的行为类似于热弹性的耦合理论。因此，我们的模型消除了其他两个模型中的悖论。对于较大的时间值，所有模型的温度分布都是相同的。
对于所有模型，法向应力分量在任何时候都具有相同的机械波前位置，而热波前位置仅在我们的模型中出现很短的时间。所有型号在拉伸区域略有差异，而在压缩区域则更为突出。
位移分量u在小时间的情况下，所有模型之间的分布变化很小，而在大时间的情况下，分布变化明显。
粒子分布的数量N在我们的模型中，记录的值比其他模型小，并且迅速衰减为零。
我们模型中的所有函数场的值都小于其他模型，并且在半导体介质中衰减迅速。
结论
这项研究提出了一个创新的数学框架，用于研究半导体弹性材料在外部磁场下的特性。主要目标是提供一个全面的数学模型，包括半导体材料中等离子体、热波和弹性波的相互作用。半导体的数学建模现在包括电化学电势的积分，这标志着一个重大的发展。半导体中的电化学电势至关重要，因为它控制着载流子的行为和浓度，从而直接影响二极管和晶体管等半导体器件的性能和功能。此外，它还建立了平衡条件和传输现象，这对理解和设计半导体材料和器件至关重要。
数据可用性
本研究期间生成或分析的所有数据都包含在这篇已发表的文章中。
缩写
:导带和价带之间变形势的差异
:线性热膨胀系数
:磁感应
：弹性常数张量
：恒定应变下的比热
：载流子扩散系数
：施加的外部电场
：应变张量的分量
：立方体扩张
：半导体的能隙
：单位质量的外力分量
：洛伦兹力
：每单位电荷的载波照片生成源
：外部施加磁场
：感应磁场
：电流载流子密度矢量
：导热系数
：林氏常数
：电化学势能
：磁导率
：时间t的载流子密度
：平衡时的载流子密度
：向外到表面A的法向单位向量的分量
：亥姆霍兹自由能函数
：热通量矢量
：粒子的电荷
：单位质量外部热源的强度
：介质的独立时间密度
：单位质量熵
：应力张量的分量
：电导率
：绝对温度
：材料在平衡状态下的温度
：热弛豫时间
：电子-空穴复合时间
：时间
：单位质量的内能
：位移组件
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