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大家好，今天我们继续学习《芯片滤波器设计》的相关知识——FBAR的理论与设计。
在之前的学习中，我们了解到FBAR的物理基础来源于居里夫妇的发现，确切的说是居里夫人的老公和他的兄弟（链接）：皮埃尔·居里和雅克·居里。居里兄弟在1880年发现了神奇的压电效应：机械力和电之间相关转换的一种物理现象。后来的科学家利用这种压电效应制作了声波谐振器：表面声波谐振器和体声波谐振器。
那么我们今天重点学习的就是体声波谐振器中的FBAR：薄膜体声波谐振器，如下图所示，压电薄膜的上下面各有两个金属电极，完成电压信号的传输，压电薄膜的厚度和声速决定了谐振器的谐振频率f0。其工作过程：当交流电压施加到FBAR的上下电极上的时候，压电薄膜由于逆压电效应，会产生形变；而压电薄膜的形变又会产生压电效应，会使压电薄膜内的电荷极性不再对称，产生极化。当输入交流电压信号的频率等于压电薄膜的机械变化频率时，就会在电极表面形成机械波驻波，从而形成机械波谐振，也就是声波谐振。
所以，正是利用了压电薄膜的这个神奇的压电效应，FBAR完成了电能和机械能的转换。谐振频率可以有下面公式决定：
f0就是FBAR的谐振频率，v是指压电材料内的体声波声速，L是指压电薄膜和两个电极共同决定的等效体声波厚度。类似于微波谐振器，FBAR的阻抗特性和相位特性如下图所示，从阻抗特性曲线可以看出，FBAR具有两个谐振频率，较低的频率为串联谐振频率 fs，该谐振点声学阻抗最低，信号能够完全通过；较高的频率为并联谐振频率 fp，该谐振点声学阻抗最高，信号则不能通过。观察其相位特性曲线，可以发现，在两个谐振频率之间相位为+90°，呈现感性；而两个谐振频率之外相位为-90°，呈现容性。也就是说，对于工作在非谐振频率的FBAR来说，相当于平板电容器特性。
根据FBAR的阻抗特性分布，将多个FBAR的并联谐振频率和串联谐振频率按照一定规律级联，就可以获得性能优良的带通滤波器。
那怎么构成FBAR呢？
在前面文章中，我们介绍了三种最常见的FBAR的结构：背面蚀刻型，空腔型和固态反射型，其中，蚀刻型和空腔型都是在FBAR的电极侧刻出空气槽以实现声波在电极和空气界面的全反射，从而形成驻波。而固态发射型是通过在电极的一侧加载bragg反射器来实现声波的全反射。从性能来看，空气反射型的效果更好，泄漏更小，但是结构强度略低；而Bragg反射型的结构强度更大，但是声波泄漏会相对大一些，形成滤波器的损耗也较大。
原理都挺简单，结构也不复杂，那到底怎么去“干”它呢？
比较准确的方法是利用多物理场进行仿真，通过建立FBAR的多物理场模型，带入到仿真软件中进行FEM仿真，从而得到FBAR的压电耦合性能，这个很多多物理场仿真软件提供了相当丰富的仿真模型库和仿真指导书，例如 Comsol，同学们可以在其网站上找到相关的学习资料和仿真指导，https://cn.comsol.com/。
另一种比较快速的方法是通过建立FBAR的等效电路模型来快速模拟FBAR的声电特性。一种较为简单的等效电路模型是修正巴特沃斯范戴克模型（mBVD），用简单的电感，电容和电阻来模拟FBAR的电声特性；另一种是梅森模型 Mosen， 可以模拟FBAR的寄生模态和高次模特性，较mBVD模型更为准确。
这两种方法计算迭代比较快速，常用于滤波器的优化迭代计算中。我们今天就来重点学习一下Mosen模型，通过将力学分析和电学模型相对应，更加深入地了解一下FBAR的工作机理。
我们先来看一下压电材料的本构方程出发：
对其微量变形进行时间求导可以得到：
根据电压电场的关系，带入上式可以得到：
可以看出，声压F和电压V 由声电流 v和电流I共同决定，也就是声电耦合来决定。
我们将上式中的声压F和声电流v的关系式单独分离，用一个电容C来等效，即可得到压电特性微单元模型的等效电路模型，如下图所示。
结合上图中的等效电感L，进一步优化成传输线力学模型，即可得到
对上式中的电压V进行化简可得：
从上式可以看出，压电材料的电压V一部分可以看作是等效电容C0=Aes /x两端的电压，另一部分是由机械振动耦合到电端口的声电流v贡献的。这两种电流的物理来源并不相同，因此采用理想变压器来将声学和电学分支彼此隔离，同时理想变压器的变比也用来匹配声电流到电学端的电流大小，其电流变比为-Ae/x ，负号表示与电端口电流方向相反。进而可以得到压电材料的完整Mosen 模型。
这样我们就可以进一步得到压电材料的电阻抗方程：
Kt2 就是材料的机电耦合系数，表征了压电材料机电转换的能力，可以利用已知的两个谐振点来求解。
压电材料体现出来机电耦合系数的大小，直接决定了 FBAR 谐振器串并联谐振频率之间的频率间距，而后间接影响了所能实现的 FBAR 滤波器的相对带宽。根据上面建立的Mosen 模型，就可以在ADS仿真软件中进行建模仿真，如下图所示，模型中的材料参数如下表格。压电材料面积大小 A 与压电材料厚度对应图中传输线长度 D，用于对应具体不同的谐振器结构参数。值得一提的是，在该 Mason 模型中，采用三端口传输线中变量 Alpha 定义模型中的机械损耗，TanD 定义介质损耗，并采用电端口串联电阻的方式表征欧姆损耗，可在后续的参数拟合过程中获得该电阻最优值。
对于电极，衬底，支撑层等非压电材料通常用简单的传输线模型来模拟其声学特性，如下图，材料的本征参数可以通过 Z0 和纵波声速 va 直接定义，也可以由密度 和刚度系数 c 参数计算求得。
最后将各部分的声电端口级联可以得到如下图所示的 FBAR 谐振器等效 Mason 模型。由于 FBAR 一般通过上电极和压电薄膜的厚度来改变谐振频率，因此将下电极和衬底厚度根据具体工艺条件固定。忽略较薄支撑层的 FBAR 谐振器上下电极和衬底均与空气接触，不考虑外力施加，所以级联后的声端口两侧接地，在模型的实现过程中也可以考虑去掉衬底模块。
谐振器的 Mason 模型作为 FBAR 滤波器设计的基础，模型参数的准确性直接决定了后续 FBAR 滤波器设计的准确性。对于 Mason 模型的参数提取和修正常利用多物理场 FEM 仿真结果或去嵌后的实测结果进行参数拟合的得到，也可以利用HFSS等电磁仿真软件进行更详细的仿真计算，来得到更为精确的FBAR参数。
和常规的微波滤波器一样，通过把几个FBAR按照一定的顺序组合排列起来，就可以构成滤波器，实现滤波器效果。
FBAR构成的滤波器是什么样的呢？
最常见的两种FBAR滤波器拓扑结构是格型和梯型，如下图所示，这两种拓扑结构中的各个FBAR谐振器之间都没有耦合，作为独立谐振器单元工作。下图a 中格型连接结构均为双端输出，双端输出结构，其特点是可实现更宽的带宽和良好的远端抑制，但缺点是矩形系数很差，限制了该结构的应用。
图b是梯型结构，通常将并联谐振器接地，实现单端输入输出结构，应用较为广泛，梯形连接拓扑的结构主要由串联谐振器和并联谐振器构成，且串联谐振器谐振频率总是高于并联谐振器。基于梯形连接的 FBAR 滤波器工作原理如下图示，当信号的频率为并联谐振器的串联频率（fs SH）时，此时并联谐振器呈现出的阻抗最小，而串联谐振器阻抗较大，因此大部分信号通过并联谐振器到地形成低频处的传输零点。当信号频率为串联谐振器的并联谐振频率（fp SE）时，此时串联谐振器呈现出的阻抗最大，而并联谐振器较小，因此大部分信号同样会通过并联谐振器到地形成传输高频处的传输零点。只有当信号频率在并联谐振器的并联谐振频率（fpSH）和串联谐振器的串联谐振频率（fs SE）附近时，信号才能在理想情况下无损耗地通过该二端口滤波网络。
所以从滤波器的实现方式上来说，也要比普通的微波滤波器要简单很多，不用去考虑谐振器内部复杂的耦合和寄生耦合，想实现更高的抑制，只需要通过调整串并联FBAR谐振器的数目即可，但是其带外性能也没有普通微波滤波器来的那么平滑。其较高的单FBAR品质因数，能够实现比较陡峭的抑制，但是插入损耗的计算和普通的微波滤波器又不能完全等效。这里面有一些相似性，但是实现机理上也有比较大的区别。我们在进一步的学习中慢慢总结吧。最后，祝大家健康！
我是RF小木匠。
注释：文章中部分图示来自论文《FBAR 滤波器的设计与综合研究》
