同轴线的射频参数到底是怎么计算出来的？

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《为什么是50欧姆？》文章中，我们引入了同轴传输线这个例子，同轴传输线是射频设计和测试中应用最为广泛一种射频传输线，同轴线到底怎么计算？今天我们详细介绍一下。

传输线模型

在分析任意一种射频传输线时，我们通常用这个传输线模型去等效，在很短（无限短）的一段传输线中，我们可以认为其电场和磁场是恒定了，这样就可以用下面这个电路模型去分析。

我们只要计算出它的等效电阻，电感，电导和电容。然后对这个无限短的传输线的等效电路进行积分就可以算出整个线长内的电磁场分布。

同轴线的内外导体通常用绝缘材料来固定，那么在计算电路参数之前，我们首先学习一下介电常数的相关知识。

同轴电缆中使用的介电材料的绝对介电常数决定了信号在电缆中的传播速度。介电常数通常用希腊字母ε (epsilon) 表示，是特定材料对电场的抵抗力的量度。换言之，介电常数是介电材料抵抗外部电场能力的量度。电介质材料中的电场减小。在 SI 中，介电常数以法拉每米 (F/m) 为单位。真空具有尽可能低的介电常数。因此，真空介电常数被选为电常数 ε 0 = 8.854187817...×10 -12 FM。真空介电常数以前称为自由空间的介电常数。它没有任何物理意义，它只是一个维度常数。

对于特定的介电材料，介电常数通常表示为与真空的介电常数有关。这个比率称为相对介电常数。它被定义为

在自由空间中，光速c 0与真空介电常数μ 0和真空磁导率ε 0的关系如下：

磁导率是材料支持在其中形成磁场的能力的量度。它通常用希腊字母μ表示，以 SI 为单位，单位为亨利每米 (H/m)。相对磁导率，通常表示为μ r，是特定材料的磁导率与自由空间（真空）磁导率的比值。对于同轴电缆中使用的绝大多数电介质，它们的相对磁导率为μ r = 1。

真空磁导率（磁常数）是由移动电荷或产生磁场的电流导出的物理常数，具有精确值：

电介质的磁导率μ和介电常数ε定义了通过该电介质的电磁辐射的相速度：

在自由空间中，这个公式变为

对于非磁性材料，相速度公式变为

正如我们所看到的，磁导率和介电常数越高，介电材料中的相速度越低。

学习完介电常数相关知识之后，我们接着介绍同轴线等效电路参数的计算方法。

分布式并联电容 (C')

同轴电缆的分布电容规格也称为单位长度的并联电容，是其重要特性之一。同轴电缆可以被认为是在电缆的内导体和外导体之间具有非零电容的同轴电容器。它与电缆的长度、其几何形状以及内外导体之间的电介质的介电常数成正比。

每单位长度的分流电容C'以法拉每米 (F/m) 为单位定义为

上式中：

D是同轴电缆屏蔽层的内径，

d为同轴电缆内导体的直径；D和d的单位必须相同，

ε 0 ≈ 8.854187817620...×10 -12 F/m 是真空的介电常数，

ε r是绝缘体材料的相对介电常数，也通常称为介电常数（现已弃用）；同轴电缆中使用的普通电介质的介电常数值是：聚丙烯为 2.2-2.36，PTFE/Teflon 为 2.1，聚乙烯为 2.25。

上面的公式在我们的计算器中使用。

考虑到 1 英尺 = 0.3045 m，ln(x) = 2.30259 log 10 (x)，并且 ε 0 ≈ 8.854187817620... × 10 -12 F/m，这个公式可以重写为以法拉每英尺为单位的C'

分布电感 (L')

对于同轴电缆，每单位长度的电感L'以亨利每米 (H/m) 为单位定义为

上式中

D是同轴电缆屏蔽层的内径，

d为同轴电缆内导体的直径；D和d的单位必须相同，

c是光速 299,792,458 m⋅s -1，

ε 0 = 8.854187817620... × 10 -12 F/m 是真空的介电常数。

它也被称为自由空间的介电常数，或电常数，或真空的介电常数，或介电常数，后两者是历史同义词，已被认为已过时。

考虑到 1 英尺 = 0.3045 m 和 ln(x) = 2.30259 log 10 (x)，

电常数ε 0由以下公式定义：

其中 μ 0 = 4π × 10 -7 ≈ 1.256637806×10 –6 H/m 是真空磁导率，也称为自由空间磁导率或磁常数

使用这个定义，我们可以将H/m 中的L'的公式改写为：

特性阻抗 (Z 0 )

同轴电缆最重要的特性之一是其特性阻抗，即连接到无限长电缆的信号源所看到的阻抗。同轴电缆的特性阻抗 Z 0是沿电缆传播的单波（无反射）的电压和电流之比。它由电缆的几何形状以及内导体和外屏蔽层之间的材料决定，并且与其长度无关。特性阻抗的国际单位制单位是欧姆（Ω）。特性阻抗可以被认为是无限长传输线的阻抗，因为这种无限长的线路没有来自线路后端的反射功率。同轴电缆阻抗的最常见值是 50 和 75 欧姆。

为什么有这些价值观？一种解释是，选择 50 欧姆的值是因为具有相对介电常数ε r = 2.25的聚乙烯电介质的同轴电缆在大约 50 欧姆时提供最小的信号损失，同时对于给定的电缆尺寸它可以承载大功率。75 欧姆标准用于不承载高功率并提供比 50 欧姆电缆更好的损耗特性的廉价 CATV 电缆。为什么是 75 欧姆？有几种解释。一些作者认为 75 欧姆是低损耗和电缆灵活性之间的折衷。其他人认为这些数字只不过是方便但随意的选择。

有损同轴电缆的特性阻抗 Z 0确定如下

式中

R'是单位长度的电阻，

L'是每单位长度的电感，

G'是每单位长度的电介质的电导，

C'是每单位长度的电容，

j是虚数单位，并且

ω是角频率。

对于没有线路电阻和介电损耗的无损耗电缆（R' = 0 和G' = 0），此等式可简化为

这里 Z 0（以欧姆为单位）不依赖于频率并且是实数，即纯电阻性。这种以无损线模型形式出现的近似对于描述低损耗同轴电缆非常有用，尤其是当它用于传输高频信号时。

用上面给出的定义替换L'和C' ，我们将有：

式中

D是同轴电缆屏蔽层的内径，

d为同轴电缆内导体的直径；D和d的单位必须相同，

c是光速 299,792,458 m⋅s -1，

ε 0 ≈ 8.854187817620...×10 -12 F/m 是真空的介电常数，

ε r是绝缘体材料的相对介电常数。

用它们的值代入电常数 ε 0和光速，我们得到

考虑到 ln(x) = 2.30259 log 10 (x)，我们得到了以欧姆为单位的阻抗的实用公式，该公式用于我们的计算器：

截止频率

横向电磁（TEM）传播模式；H——磁场，E——电场，D——方向

同轴电缆中波传播的主要模式是横向电磁 (TEM) 模式。在这种模式下，电场和磁场都横向（垂直或垂直）于波的传播方向，并且彼此垂直。这种模式下的电场线呈放射状分布，而磁场线围绕中心导体呈圆形分布。同轴电缆还支持仅具有沿传播方向的磁场的横向电 (TE) 模式和仅具有沿传播方向的电场的横向磁 (TM) 模式。然而，这两种出现在较高频率下的模式是不可取的。

对于同轴电缆，具有最低频率f c的非 TEM 模式是 TE 11模式。该频率是同轴电缆的最高可用频率或截止频率。如果电缆电介质中的波长短于电介质的平均周长，则信号可以以 TE 11模式传播；对于空气电介质，公式如下所示：