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课堂练习题
今天信号与系统课堂上，通过网络课堂和同学们讨论了一个来自于郑君里教授在其《教与写的记忆》书中记载的他当年在课堂上与同学们讨论的问题。这个问题就是如何设计一个电路系统，由对称方波（占空比为 50%的方波）作为输入，产生一个频率为对称方波两倍频的正弦波。
现在课程讲完了第三章，信号的频谱分析（傅里叶变换），郑君里教授的这个课堂讨论题目比较适合来阐述信号的波形与频谱的关系、线性是不变系统的特性、系统的频率特性等问题。
课堂讨论问题
题目中的“坑”
郑老师当年是面对电子工程系的同学来出的这道题目。大部分的同学在模拟电路、电路原理、高频电子线路课程中学习过选频放大电路。使用它可以将蕴含在信号中的某个单频信号进行放大输出。
比如对于一个周期信号，它的交流分量包括有基波以及各阶高次谐波，就可以使用选频电路来获得周期信号中特定的高次谐波的正弦信号。这也是通讯电路中常见到的电路设计。
选频放大电路
当然。在这个问题中，郑君里教授是预先埋伏了一个“坑”：那就是对于一个对称方波周期信号，它具有特殊的“奇谐对称”特性，它的谐波中只包含有奇次谐波，也就是只有 1,3,5,7,..... 次谐波，所以直接使用前面的选频放大电路对方波信号进行选频放大是无法产生对应的二倍频正弦信号的。
因此，在设计的电路中需要具有一个电路环节，能够从方波信号中产生原本不存在的二次谐波。这种能够“无中生有”产生新的频率的电路不能够是“线性时不变”系统。因为线性时不变系统的输出信号中无法产生与输入信号不同频率的信号。
几种解决方案
经过郑老师的提醒，班上的同学也纷纷给出了不同思路的解决方案。
课堂讨论部分学生方案
这些方案可以分为三大类：第一大类： 先通过选频电路获得信号的基频正弦信号，然后在通过整流（半波整流、全波整流）电路、平方电路形成带有二次谐波的周期信号，最后在通过选频电路获得二倍频正弦信号；
第二大类： 通过对普通的 RC 微分电路和积分电路的改造，比如在电阻 R 上增加非线性的二极管器件，或者对输出的信号进行二极管全波整流等，来产出非“奇谐对称”的信号，然后在使用选频电路获得二倍频正弦信号；
第三大类： 直接使用数字信号电路，比如单稳态触发电路、脉冲延迟电路、异或电路等，产生二倍频的脉冲信号，或者非奇谐对称的脉冲信号，然后在通过选频电路获得二倍频正弦信号。
今天课程中学生给出的部分答案
今天在课堂上，自动化系的同学们纷纷给出了自己的设计方案草图，其中有正确的，也有错误的，下面逐一分析一下：
答案 1：延迟异或电路
答案 1
这个电路属于前面第三类方案。其中的延迟电路属于线性电路，异或部分属于非线性电路，新的频率也由此产生。根据我的要求，同学没有继续将后级的选频放大电路给出。
答案 2：非线性 RC-D 电路
答案 2
这个属于前面第二类解决方案。这个方案没有在电阻 R 上并联非线性器件二极管，而是在电容上并联，这同样也能够输出非奇谐对称的波形。如果大家感兴趣可以绘制出该电路在占空比为 50%的方波驱动下的输出波形。
后期通过选频电路便可以获得二倍频的正弦信号了。
答案 3：RC 微分+整流
答案 3
这个方案也属于前面第二大类的方案。
这里面有一个特别的地方，即不能够直接在原来的方波信号上进行整流。在原题中所给的方波是 0~5V 的方波，如果直接全波整流，所获得的仍然是对称的方波信号。因此这里的 RC 微分电路是需要的。
答案 4：平方电路
答案 4
这个答案属于前面第一大类方案。同学答案中并没有绘制出平方电路的实现。
实际上，对基频正弦波进行平方运算，根据三角函数恒等式，在输出的结果中就包含有一个直流分量和一个二倍频的正弦信号了，所以最后只需要在添加一个 RC 隔直电路便可以输出所需要的二倍频正弦信号。
答案 5：奇怪的二极管电路
答案 5
这个方案就显得比较奇怪了。如果课堂时间允许，我可能会请提供这个答案的同学通过视频给大家把它的想法的细节讲清楚。
在他的电路中，方波信号通过一对极性相反的并联二极管之后再去微分，由于给定的方波是 0~5V 的信号，所以前面的并联二极管电路实际上对信号不起作用。所以最终的信号是对方波取微分。
但微分电路是线性定常电路，并不能够改变输入信号的频率分量，所以这个电路存在缺陷。
当然，如果他的电路中的二极管是作用在 RC 微分电路中的电阻或者电容上，情况就变成了前面第三类答案了。
答案 6：T 触发器
答案 6
通过 T 触发器完成对输入信号的二分频。输出频率为原来方波频率一半的方波信号。输出的信号也是严格的占空比为 50% 的方波信号，其中只包括基波的奇次谐波，所以这个电路中也没有原来信号的二倍频信号。
答案 7：对基频进行半波整流
答案 7
这个答案属于前面第一大类方案，方案是正确的。
答案 8：二阶 RC 电路
答案 8
其中文字描述了改变方波的占空比，然后在通过一个二阶的 RC 低通滤波器来获得信号中低频谐波信号。这个方案中存在两个问题：
只是通过文字描述来改变方波的占空比，思想是对的，将方波的占空比调整到非 50%即可改变信号的“奇谐对称性”，但问题在于没有给出具体的实现电路。估计该同学的数字电路课程没有学习好；使用二阶 RC 电路只能获得信号的低频信号，其中应该是基波成分更大，二次谐波成分次之，所以并不是二倍频的正弦信号。应该将 RC 低通滤波器修改成 LC 选频放大电路。
答案 9：与非电路
答案 9
这个电路非常新颖，如果不做仿真，还无法立即判断该电路的输出 U0 的波形，近而判断输出信号中是否包含有二次谐波。
电路将原来的方波信号以及它的反向信号经过后面的 RC 微分，施加在后面的与非门上。如果 RC 的时间常数远远小于方波信号的周期，所以在后面的与非门的输入端大部分的情况都是高电平，所以 U0 大部分情况下是保持低电平。
当输入方波的上升沿，或者下降沿来临的时候，则会通过 RC 微分在后面的与非门的一个输入端产生一个负极性脉冲，从而引起输出产生一个正向脉冲。由于是在上升沿、下降沿都会产生一个正向脉冲，所以输出的 U0 应该是两倍频率的脉冲信号，其中包含有二次谐波。
但这个电路的问题在于两个 RC 微分电路居然共用一个电阻，这就会对抵消微分作用，使得输出不再会产生脉冲。所以需要对电路中共用的电阻 R 分开，每个电容分别使用他们各自的电阻才行。
答案 10：RC 滤波
答案 10
这个答案没有给出具体电路，但通过 C 表示方波信号施加在一个电容负载上，使得信号的上升沿和下降沿变化。
但是如果仅仅是一个电容负载，方波信号的上升沿、下降沿会变得平滑，但输出的波形仍然是奇谐对称的。除非在电路中还存在着其它非线性环节，否则这个方案是错误的。
答案 11：JK 触发器
答案 11
实际上这个电路是将 JK 触发器当做 T 触发器来使用。输出的信号应该是原来方波信号的二分频。
好吧，如果课程允许回溯追究的话，也就是后期课程的老师可以根据学生应用前面选修课程内容的情况，反过来对原来课程学分绩进行修改的话，估计这个同学了的数字电路的学分绩需要降低了。当然啦，这是玩笑。
答案 12：直接在原来信号的增加一个直流分量
答案 12
在信号上增加直流分量当然无法改变信号的交流成分了，所以输出的信号中自然也不会包含有二次谐波的成分的。
这个同学可能对奇谐对称的概念并没有完全理解。再分析奇谐对称的时候，需要将原来周期信号的直流分量去除之后，再来看它的对称性。
答案 13：通过 ROM 改变波形
答案 13
这个方案希望通过 ROM 来改变输入信号的波形。思路是很好的，但是方波信号只能是一个地址位，怎么来产生相应的 ROM 访问地址呢？
这个方案之前还需要有一个计数器，来产生 ROM 的访问地址，然后在 ROM 的输出中可以设置任意序列方波信号了。所以这个设计不完整。
答案 14：三进制计数器
答案 14
这个答案只是给了三进制计数器的概念，并没有给出计数器输出信号的波形是什么样的？如果理解是占空比为 1/3，频率为原来频率 1/3 的方波信号的话，在这个信号的谐波中，会具有 6 倍频吗？
结果令人遗憾，占空比为 1/3 的方波信号没有 6 次谐波！具体原因请同学们回忆一下课上我们针对方波信号的波形（宽度、周期）与谐波之间的关系的分析上。
答案 15：JK 触发器+RC 滤波
答案 15
这个问题前面分析过，输出信号中不包含二次谐波。
除非这个电路中应用到了 JK 触发器 IC 电路输出特性的非线性，否则是错误的。
答案 16：T 触发器+与非门
答案 16
这个电路是将原来的方波电路与它的二分频信号进行与非操作，可以获得一个占空比为 1/4 的方波信号，该方波信号的频率是原来方波信号的一半。
为了获得原来方波信号的二倍频，所以需要从占空比为 1/4 的方波信号中获得它的 4 倍频谐波。
很可惜！占空比为 1/4 的方波信号不包含四次谐波以及四次谐波的整数倍的谐波频率。为什么？回忆一下上节课的讨论。所以这个电路方案也是错误的。
答案 17：二极管整流
答案 17
首先原来题目给定的信号是一个 0~5V 的信号，经过二极管之后作用在电阻上，应该输出的信号波形与原来的方波是一模一样的。
即使原来的方波信号不包含直流分量，那么经过半波整流之后，所获得的仍然是一个占空比为 50%的方波信号。所以这个电路也是错误的。
答案 18：增加一个直流偏置
答案 18
这个方案前面分析过。只是增加信号的直流分量无法改变信号的交流分量，所以该电路也无法产生二倍频信号。
答案 19：延迟+异或
答案 19
这个方案是正确的。理由前面分析过。
答案 20：RLC 电路
答案 20
RLC 组成的线性电路是无法产生输入信号的而被聘的。这个方案是错误的。
答案 21：选频+平方电路
答案 21
这个电路属于第一类方案，是正确的。
很可惜，自动化系的同学学习完模拟电路之后，对于选频电路、平方电路还无法给出具体的结构。但是在当今的时代，大部分的电路设计都是通过专用的 IC 来实现了。现在的同学不掌握这些具体的电路，对于将来的工程实践不会造成太大的影响，谁让他们处在这个时代呢。
