数字信号处理---实数和复数调制

在本篇文章中，我们首先将探讨什么是调制以及一些常见的调制类型。接着，我们将深入研究相位调制和幅度调制及其背后的数学原理，以此为基础引入实数调制和复数调制的概念。最后，我们将讨论复数调制的应用，并以一个实例结束，将各个概念串联起来。

首先，我们来讨论基本的调制概念。调制是指以一种受控的方式改变载波信号的属性（如幅度、相位或频率），以便通过信道传输数据或获得所需的信号属性。这里以一个数字通信系统为例来展示这个过程。

我们有一串比特序列来控制调制器。调制器对每个比特或比特序列做出响应，以特定的方式调制信号，以表示这些比特。信号通过信道传输，这个信道可以是同轴电缆、无线信道或光纤。传输后，对调制信号进行解调，以确定传输的比特。

调制技术种类繁多，每种调制技术都在频谱效率、复杂度、功率效率、抗噪声能力等方面实现了不同的权衡。这里列出了一些最常用的调制类型。脉冲幅度调制（PAM）仅调制载波幅度。

PAM也可以包含负幅度，这可以看作是180度的相位偏移。例如，2级PAM通常被称为二进制相移键控（BPSK），常用于串行接口，如千兆以太网。当然，最著名的模拟幅度调制是AM无线电传输中使用的那种。

相移键控（PSK）仅调制载波相位，从而得到一个恒定的载波包络，实现良好的功率效率。PSK具有良好的抗噪声能力，当信道信噪比低时，为了在LTE网络中实现足够的误码率，就会使用PSK。正交幅度调制（QAM）同时调制载波相位和幅度，允许使用大量符号，从而以牺牲功率效率和增加噪声要求为代价大大提高频谱效率。它是当今最常用的调制类型之一。256符号QAM用于DOCSIS 3.0电缆系统，以在低噪声信道上实现高数据速率。

频率调制（FM）调制载波频率。在数字通信中，选择离散频率作为符号，每个符号代表一串比特。其他例子当然包括FM无线电和线性频率调制（LFM）。

LFM是载波频率的连续线性扫描。LFM通常不用于数据传输。然而，它被用于雷达系统以实现脉冲压缩，从而提高空间分辨率，以便识别近距离目标。

现在，让我们来了解一下基本相位和幅度调制的数学原理。这是一个很好的例子，因为它在正交幅度调制（QAM）等领域得到了广泛应用。同样的基本分析可以用于上图中给出的所有调制类型。这还可以让我们展示实数和复数调制。

首先，一个相位和幅度调制的载波可以表示如下，其中余弦项作为载波，其幅度由a(t)调制，相位由θ(t)调制。载波频率由f_c表示。利用和角三角恒等式，我们可以将x(t)分解为单独的正弦和余弦载波，每个载波的幅度由a(t)调制，相位由相位调制函数θ(t)的正弦和余弦分别调制。

然后，我们可以重新定义每个载波函数的幅度和相位调制，称为x_i(t)和x_q(t)。这些调制函数通常简称为I和Q。i是同相调制函数，q是正交相位调制函数。“正交”一词来源于正弦和余弦之间相位相差90度。

现在我们有了x(t)的这种形式，它代表了我们现实世界中的传输信号。I和Q调制函数都是实值函数，意味着它们不包含虚部。因此，x(t)也是一个实值函数，这是现实世界传输所要求的。然而，这个函数实际上既可以表示实数调制，也可以表示复数调制。

顺便提一下，这个传输信号通常被称为带通信号，因为它在载波频率上占据了一定的带宽。换句话说，I和Q函数调制了一个载波信号。

带通信号可以分解为一个低通调制函数，乘以一个复指数载波。这里的“低通”指的是信号以直流（DC）为中心，也称为基带。

现在，让我们来了解一下基本相位调制和幅度调制背后的数学原理。这是一个很好的例子，因为它被广泛应用，比如在正交幅度调制（QAM）中。同样的基本分析可以用于之前幻灯片中给出的所有调制类型。它还可以帮助我们展示实调制和复调制。

这个新的基带调制函数X_bb(t)是由I和Q这两个实值调制函数形成的，其中Q代表复分量。很容易看出，如果Q(t)等于0，那么X_bb(t)就是一个实值函数。当X_bb(t)是实值时，结果就是实调制。或者，如果Q(t)不为零，那么它就是一个复信号，导致复调制。

现在，我们可以将这个新的复基带调制函数与实值带通传输信号联系起来，如图所示。x(t)是通过将X_bb(t)乘以一个复指数（其频率等于载波频率）并取这个乘积的实部得到的。我们把这种传输信号的形式称为解析等价形式，因为它的主要目的是分析调制。

利用欧拉公式和X_bb(t)的定义，很容易看出x(t)的这个定义与之前的定义是等价的。试着自己证明这种等价性。基本上，X_bb(t)只是一个由I和Q调制函数控制的时变复数。记住，I和Q都是实值函数，只有当Q函数不为零时，X_bb(t)才是复数。接下来，我们将展示复调制相对于实调制的优势。

以下是一个实调制的例子，它将一个余弦波转换为更高频率的信号。我们通常把这个过程称为混频，但也可以看作是用一个正弦波调制另一个正弦波。在这个例子中，基带调制函数是一个对于所有时间值都是实值的余弦波。换句话说，q分量为零。基带余弦波的频率是f_IF，其中IF代表中频。

利用欧拉公式中的余弦关系，我们可以将余弦波描述为两个复指数的和。将这个公式代入x(t)的解析定义中，合并指数幂，然后再次使用欧拉公式，我们可以看到，得到的调制信号是载波频率加上和减去IF频率的两个实余弦波的和。然而，通常只需要这两个信号中的一个，而不需要的信号（称为镜像信号）必须被滤除。解决这个问题的一种方法是使用复调制。

现在考虑同样的场景，但使用复调制。在这里，基带调制函数是一个复指数，而不仅仅是实值的余弦波。再次利用欧拉公式，我们可以看到复指数只是余弦波和正弦波的和，其中正弦波乘以虚数单位j。因此，同相调制函数I是一个余弦波，而正交相位调制函数q是一个正弦波。

将这个复基带函数代入x(t)的解析定义中，合并指数幂，并应用欧拉公式，得到最终的调制信号。虚部的正弦分量被实部函数去除。这个新的调制信号只包含所需的信号，而镜像信号被衰减或抑制。

在实混频的情况下，首先要认识到的是，实信号（如余弦波）具有镜像的正负频率谱。负频率在真实世界中不存在，但在解析世界中存在。对于实调制信号也是如此，其形状证明了这一点。注意，正负频率谱看起来是相同的。

当这个信号混频到更高频率时，正负频率谱都会混频到载波频率附近。我们称载波频率的两侧为下边带和上边带。在这种情况下，下边带和上边带包含相同的信息，这不是很有效率。这种场景被称为双边带（DSB）传输，是实调制的结果。

如果我们现在看复混频的情况，其中我们使用复指数作为基带信号，我们可以看到复正弦波只存在于正频率空间中，而负镜像消失了。我也可以将复指数定义为负频率，这意味着它存在于负频率空间中，而不是正频率空间。这表明我的正频率空间与负频率空间是独立的。

我的复调制信号，如这个形状所示，可以在两个边带中包含不同的信息。一旦我与复正弦波混频并取实部，载波信号的下边带和上边带现在就是独立的。这被称为单边带（SSB）传输，因为每个边带都可以传输独特的信息。关键的好处是，这允许我在相同的带宽内传输比实传输多两倍的信息。

既然我们已经介绍了复调制背后的基本数学原理，现在让我们来讨论它的两个主要用途。

首先，复调制的概念被用于镜像抑制混频器中。在实混频中，会产生所需的信号和不需要的镜像信号，后者必须被滤除。而使用复调制可以固有地抑制镜像信号，正如我在复混频示例中所展示的。

镜像信号的抑制降低了混频器之后模拟滤波器的要求。由于存在不完善之处，模拟混频器无法实现完美的抑制。然而，即使镜像信号功率降低20分贝，也会导致滤波器要求的显著放宽。

其次，复调制在数字通信中得到了广泛应用，以便在给定信号带宽下将数据传输速率加倍。这提高了频谱效率，这在带宽受限的情况下（如无线通信）尤为重要。数据传输速率能够加倍是因为正弦和余弦是正交函数，允许分离I和Q分量。由于I和Q可以分离，它们可以包含独立的信息。让我们更深入地了解这一应用场景。

数字通信使用离散的I和Q值来形成符号。一种常见的可视化复符号的方法是使用星座图，例如这个16-QAM（正交幅度调制）的示例图。该图将符号映射到复平面上。x轴表示实部I分量的大小，而y轴表示虚部Q分量的大小。每个符号都映射到一个比特序列，以便传输信息。

在示例图中，比特序列1011映射到右下角的符号，该符号由最正的I值和最负的Q值表示。从原点到符号的距离表示调制载波的幅度，可以使用勾股定理来计算。调制载波的相位是从正I轴到符号的角度，可以使用q除以i的反正切值来计算。

现在，让我们尝试将星座图中所显示的内容与之前给出的传输信号定义联系起来。

首先，考虑之前展示的16-QAM星座图。假设我们希望在载波频率f_c上通过信道传输，并且想要发送比特0011。查看图表，我们可以看到比特0011被分配到复平面右下象限左下角的符号。该符号对应的I和Q值分别为1和-3。因此，我们的基带调制函数简单地表示为1-j3。

现在，我们可以使用之前幻灯片中的方程来计算载波幅度和相位。我们发现幅度为根号10，相位为-1.25弧度。

现在，我们可以通过两种方式生成调制信号。我们可以使用计算出的幅度和相位来设置余弦波的幅度和相位，如上方方程所示。或者，我们可以直接使用星座图中的I和Q值来设置独立余弦项和正弦项的相对幅度，如下方方程所示。所得信号是相同的。然而，第二种方法通常更常用，因为它在数字处理器或现场可编程门阵列（FPGA）中更容易实现。