麦克斯韦方程直观

前一段时间刷到一个美女主播在推荐一本关于麦克斯韦方程组的书——《麦克斯韦方程直观》，价格比较便宜，于是就买回来读了一下。（今天怎么更便宜了！）

说实话，这本书对于射频设计来说，参考性不大。但是对于射频工程师来说，理解掌握麦克斯韦方程组却是很有必要的，毕竟是祖师爷发明的东西，偶尔拿出来装一下也是可以的。

下图是我们这次定制的麦克斯韦杯的图案，带个二维码纯粹是为了宣传公众号啦。

今天谈一下，我对麦克斯韦方程组的一点小认识。

我们知道，牛顿统一了力，爱因斯坦统一了时空，而我们的祖师爷麦克斯韦则统一了电和磁以及光。可以说，没有麦克斯韦就没有我们今天万物互联的世界。

而麦克斯韦统一了电和磁就藏在上面的四个方程内。

我们先看它的积分方程。

首先我们来说一下什么是积分？

我感觉整个数学来说也就在干俩事儿，第一个是加法，第二个是减法。为了应对一些等加或者等分的情况就发明了乘除，为了应付一些沿着线或者沿着面相加的情况就发明了微积分。其实无论是乘除还是微积分，本质上还是加法和减法的延续。

下面就是麦克斯韦方程组的积分形式，而长长的∫ 就是积分符号，在∫符号中间加一个⭕，表示是封闭曲线或者封闭曲面积分。

为了简单期间，先看最后一个公式，这个是高斯电场定律。等式左边表示对封闭曲面上的电通量进行积分，相当于将曲面各部分电通量求和，而右边则表示对这个体积内的所有电荷密度进行积分，也就是体积内所有电荷求和。两边相等，则表示通过封闭曲面的电通量总和等于这个封闭曲面包围的体积内的所有电荷和。

倒数第三个公式也很简单，表示的是高斯磁场定律，告诉我们穿过任意闭合曲面的磁通量为0。其实也宣示了单极磁荷是不存在的。

倒数第二个公式则是法拉第定律。注意等式右侧只有磁通量对时间t求导，表示磁通量是随时间变化的，而等式左侧则是对封闭路径上电场的线积分。也就是说变化的磁场会感应出环绕的电场。如下图所示

麦克斯韦方程组总共四个方程，高斯贡献了两个，法拉第贡献了一个，而麦克斯韦最多最多只剩一个可以贡献一下了。错了，麦克斯韦只贡献了半个。

我们看第一个等式，这个等式有点长。等式前面只有一项，表示封闭路径L中磁场强度的积分；右边则有两项，第一个是对一个面上电流密度的积分，第二个则是先对电位移矢量D时间t求导，然后再面积分。

如果没有第二项的话，那这个公式就是安培定律，表示电流的周围存在磁场，安培右手定则则能很快找到磁场的方向。如下图所示。

这个等式右边第二项则是麦克斯韦想象出来的了，在安培定律后面加了一个变化的电通量，取名叫做位移电流。传言说是为了保持和第二个等式的对称，也引入了一个变化的量。也就是说既然法拉第证明了变化的磁场可以产生电场，那么变化的电场理应也能产生磁场。

但是是不是叫麦克斯韦方程，只是因为麦克斯韦贡献了半个方程组呢。其实也不是，最早麦克斯韦总结前人研究成果的时候，总结了20个方程，发表在了他的伟大著作《A treatise on electricity and magnetism》中，这套书目前珍藏在剑桥图书馆里。

这20个方程直到麦克斯韦去世20年之后，才有英国的 Oliver Heaviside 和 Heinrich Hertz 简化为4个。也就是我们学习的这四个。所以当时很多人建议这组方程命名为和维赛德（Heaviside）方程，被Heaviside拒绝了。因为这个方程组最最最最大的贡献就是麦克斯韦，一个真正意义上的天才物理学家。而这个天才就体现在他对位移电流的处理上。

下面是推导过程，这次是微分方程推导的。这个波动方程不仅统一了电和磁，而且也统一了光，因为电磁波的速度就是光速。