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多维尺度分析（Multidimensional Scaling，MDS）是一种用于分析数据之间相似性和差异性的技术。它将多维空间的研究对象（样本或变量）简化到低维空间进行定位、分析和归类，同时又保留对象间原始关系的数据分析方法，是一种利用低维空间去展示高维数据的一种数据降维、数据可视化方法。该方法仅仅需要样本之间的相似性或者距离，即可对数据进行降维。
多维尺度分析起源于，当仅能获取物体之间的距离时，如何利用距离去重构物体之间的欧几里得坐标。多维尺度分析的基本目标是将原始数据“拟合”到一个低维坐标系中，使得由降维所引起的任何变形最小。多维尺度分析的方法很多，按照相似性数据测量测度不同可以分为：度量的MDS和非度量的MDS。
本文主要使用最常用的Classic MDS方法对数据进行多维尺度分析，并利用MDS进行数据降维可视化、利用距离矩阵重构样本的空间坐标等，介绍如何在R语言中进行多维尺度分析。
MDS数据降维
利用数据集中的鱼的信息数据（数据集下载地址可添加小编客服索取），利用多维尺度分析对其进行降维，并对降维后的数据进行可视化，程序如下所示：
## 导入数据，同样使用前面用过的鱼的信息数据fish <- read_csv("data/chap11/Fish.csv")## 对数据进行标准化预处理fish[,2:7]<- apply(fish[,2:7],2,scale)## 计算样本之间的距离fish_dist <- dist(fish[,2:7],method = "euclidean")## 针对距离进行MDS数据降维fish_cmd <- cmdscale(fish_dist,k = 2)## 可视化样本降维后的分布情况fish_cmd <- as.data.frame(fish_cmd)fish_cmd$Species <- fish$Speciesggplot(fish_cmd,aes(x = V1,y = V2))+geom_point(aes(colour = Species,shape = Species))+scale_shape_manual(values=c(15,16,17,9,3,4,8))+labs(x = "D1",y = "D2",title = "MDS数据降维")
上面的程序中，读取数据后，先对数据进行可标准化处理，然后使用dist()函数计算每个样本之间的欧式距离，针对得到的距离矩阵fish_dist使用cmdscale()函数进行数据变换，将其降维到二维空间中（由参数k的取值控制），针对降维后的结果使用散点图进行可视化，运行程序后可获得如图1所示的散点图。
图1.多维尺度变换可视化结果
计算样本的空间位置
以上内容是在知道数据样本的特征后，计算样本间的距离，然后通过距离矩阵计算每个样本的空间分布。实际上，多维尺度变换很多时候不需要知道每个样本的特征，只需要知道样本之间的距离矩阵（相关性矩阵），即可对样本点在空间中的分布情况进行重构。其通常用于在知道地点之间距离的情况下，计算出每个地点在空间中的分布情况。
表1给出了澳大利亚8个城市之间的距离矩阵，希望利用多维尺度变换找到每个城市在空间的位置，并和城市的真实位置进行对比。
表1.澳大利亚8个城市之间的距离（单位：km）
针对这样的问题，首先导入要使用的数据，程序如下：
library(maps)library(leaflet)## 读取澳大利亚8个城市之间的距离数据citydist <- read.csv("data/chap11/dist_Aus.csv")row.names(citydist) <- citydist[,1]citydist <- citydist[,-1]citydist## Adelaide AliceSprings Brisbane Darwin Hobart Melbourne Perth## Adelaide 0 1328 1600 2616 1161 653 2130## AliceSprings 1328 0 1962 1289 2463 1889 1991…
在上面的程序中，导入了需要使用的距离矩阵，为了将多维尺度变换得到的结果和城市之间的真实位置进行对比，先利用leaflet包可视化出每个城市在地图上的位置分布，可视化程序如下所示，运行程序后可获得各城市分布的地图。
## 在地图上可视化除8个城市的空间位置，和MDS的计算结果进行对比citynames <- c("Adelaide", "Alice Springs", "Brisbane","Darwin","Hobart", "Melbourne", "Perth", "Sydney")data(world.cities) # 提取所有城市的地图数据## 获取几个城市在城市数据中的数据citydf <- world.cities[world.cities$name %in% citynames,]citydf <- citydf[citydf$country.etc == "Australia",]## 在地图上可视化城市所在位置leaflet(data = citydf,width = 700, height = 500) %>%addTiles() %>%setView(lng = mean(citydf$long),lat = mean(citydf$lat),zoom = 4)%>%addCircleMarkers(lat = ~lat, lng = ~long, label = ~name,radius = 5,color = "red", fillOpacity = 0.6,stroke = FALSE,labelOptions = labelOptions(noHide = TRUE))
下面利用城市之间的距离矩阵，计算每个城市在二维空间中的位置，同样使用cmdscale()函数计算，同时将计算的结果进行可视化，需要注意的是，在可视化时，X轴和Y轴的坐标均适用计算值是负值（这是因为多维尺度变换的结果可能与实际的位置坐标相反）。运行下面的程序后可获得图3。
##根据距离计算城市在空间中的相对位置citycmd <- cmdscale(citydist, eig = FALSE, k = 2)## 获取每个城市在空间中的坐标citypos <- as.data.frame(citycmd)colnames(citypos) <- c("X","Y")citypos$name <- citynames## 在二维空间中可视化除城市的分布ggplot(citypos,aes(x = -X,y = -Y))+geom_point(colour = "red")+geom_text(aes(x = -X+100,y = -Y+100,label = name))+ggtitle("城市之间的空间位置")+coord_equal()
图2.利用多维尺度变换计算得到的空间分布
由图2可以发现，利用多维尺度变换计算得到的结果，与每个城市的真实空间分布很相似。
以上内容节选自《R语言实战——数据整理、可视化、建模与挖掘》作者：薛震 孙玉林
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撰 稿 人：计旭
责任编辑：张淑谦
审 核 人：曹新宇
