每日一帖｜第十三天 数制转换

行色匆匆

一 、数制
     计算机中采用的是二进制，因为二进制具有运算简单，易实现且可靠，为逻辑设计提供了有利的途径、节省设备等优点，为了便于描述，又常用八、十六进制作为二进制的缩写。
一般计数都采用进位计数，其特点是：
(1)逢N进一，N是每种进位计数制表示一位数所需要的符号数目为基数。
(2)采用位置表示法，处在不同位置的数字所代表的值不同，而在固定位置上单位数字表示的值是确定的，这个固定位上的值称为权。
在计算机中：D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0 只有两种0和1
8 4 2 1

二 、数制转换

    不同进位计数制之间的转换原则：不同进位计数制之间的转换是根据两个有理数如相等，则两数的整数和分数部分一定分别相等的原则进行的。也就是说，若转换前两数相等，转换后仍必须相等。
有四进制
十进制：有10个基数：0 ~~ 9 ，逢十进一
二进制：有2 个基数：0 ~~ 1 ，逢二进一
八进制：有8个基数：0 ~~ 7 ，逢八进一
十六进制：有16个基数：0 ~~ 9，A，B，C，D，E，F (A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15) ，逢十六进一
1、数的进位记数法
N=a n-1*p n-1+a n-2*p n-2+…+a2*p2+a1*p1+a0*p0
2、十进制数与P进制数之间的转换
①十进制转换成二进制：十进制整数转换成二进制整数通常采用除2取余法，小数部分乘2取整法。例如，将(30)10转换成二进制数。
将(30)10转换成二进制数
2| 30 ….0 ----最右位
2 15 ….1
2 7 ….1
2 3 ….1
1 ….1 ----最左位
∴ (30)10=（11110)2
将(30)10转换成八、十六进制数
8| 30 ……6 ------最右位
3 ------最左位
∴ (30)10 =(36)8
16| 30 …14(E)----最右位
1 ----最左位
∴ （30)10 =（1E)16
3、将P进制数转换为十进制数
把一个二进制转换成十进制采用方法：把这个二进制的最后一位乘上20，倒数第二位乘上21，……,一直到最高位乘上2n,然后将各项乘积相加的结果就它的十进制表达式。
把二进制11110转换为十进制
（11110）2=1*24+1*23+1*22+1*21+0*20=
=16+8+4+2+0
=（30）10
把一个八进制转换成十进制采用方法：把这个八进制的最后一位乘上80，倒数第二位乘上81，……,一直到最高位乘上8n,然后将各项乘积相加的结果就它的十进制表达式。
把八进制36转换为十进制
（36）8=3*81+6*80=24+6=（30）10
把一个十六进制转换成十进制采用方法：把这个十六进制的最后一位乘上160，倒数第二位乘上161，……,一直到最高位乘上16n,然后将各项乘积相加的结果就它的十进制表达式。
把十六制1E转换为十进制
（1E）16=1*161+14*160=16+14=（30）10

三 、二进制转换成八进制数
   
    (1)二进制数转换成八进制数：对于整数，从低位到高位将二进制数的每三位分为一组，若不够三位时，在高位左面添0，补足三位，然后将每三位二进制数用一位八进制数替换，小数部分从小数点开始，自左向右每三位一组进行转换即可完成。例如：
将二进制数1101001转换成八进制数，则
(001 101 001)2
| | |
( 1 5 1)8
( 1101001)2=(151)8
(2)八进制数转换成二进制数：只要将每位八进制数用三位二进制数替换，即可完成转换，例如，把八进制数(643.503)8，转换成二进制数，则
(6 4 3 . 5 0 3)8
| | | | | |
(110 100 011 . 101 000 011)2
(643.503)8=(110100011.101000011)2

四 、二进制与十六进制之间的转换
   
    (1)二进制数转换成十六进制数：由于2的4次方=16，所以依照二进制与八进制的转换方法，将二进制数的每四位用一个十六进制数码来表示，整数部分以小数点为界点从右往左每四位一组转换，小数部分从小数点开始自左向右每四位一组进行转换。
(2)十六进制转换成二进制数
如将十六进制数转换成二进制数，只要将每一位十六进制数用四位相应的二进制数表示，即可完成转换。
例如：将(163.5B)16转换成二进制数，则
( 1 6 3 . 5 B )16
| | | | |
(0001 0110 0011. 0101 1011 )2
(163.5B)16=(101100011.01011011)2
2进制转10进制最简便方法？？
如：(10111)2
     =(((((0*2+1)*2+0)*2+1)*2+1)*2+1)10
     =((((1*2+0)*2+1)*2+1)*2+1)10
     =((((2+0)*2+1)*2+1)*2+1)10
     =(((2*2+1)*2+1)*2+1)10
     =(((4+1)*2+1)*2+1)10
     =((5*2+1)*2+1)10
     =((10+1)*2+1)10
     =(11*2+1)10
     =(22+1)10
     =(23)10