三个帖子入门CORDIC算法

nemon · 发表于 2014-8-14 11:57:29

【楼主按曰】如果没听说过CORDIC算法并不算晚，但是知道要用的时候还不了解就真的晚了，所以摘了3个帖子，一起学习下。

http://bbs.ednchina.com/BLOG_ARTICLE_3022593.HTM
asdont的博客——老顾的小窝分分钟看懂CORDIC算法

最近出于项目需要，对CORDIC算法深入学习下。刚开始的时候上网搜了下资料发现一上来就直接是推导公式，然后工程运用与理论推导联系太少感觉无从下手！对于像我们数学丢了很多年的同学来说实在是痛苦啊。好在痛苦归痛苦，几天下来也略有小小收获，分享给大家。
CORDIC算法应该能够称为非线性运算的“大杀器”了，包括了“sin，cos，sinh，cosh，tan-1”等等...。cordic算法全称叫做坐标旋转计算法，既然是有坐标那（x，y）是无疑的，旋转的话角度也就清楚了，根据这两个量利用数学知识即可求出上述算式。但是人可以把笔在纸上拿笔算算，可机器做不到啊，于是美国佬绞尽脑汁想出一种便于计算机计算的方法，下面我就直接列出它里面的精华部分做一次实例推导，看看他的神奇之处！
前面的推导就不放上来了，大家看着头疼。其中x y分别表示对应坐标轴上的两点，d表示判断他旋转的方向，

那我们设x=1，y=0，d=30度 d=1，通过上述公式如何得到确切值

好，到这部我们可以看到z1 为负角度也就是说转过头了，接下来继续转 d1=-1.

继续旋转这次z2 为正d=1。

迭代三次之后发现有些苗头啊,越来越靠近说要计算的值了。再来一次这次d=-1.

第四次，，
第五次。。

这么机械的活还是交给计算机吧~

x_i = 1;
y_i = 0;
z_i = 30;
d = 1;
a= 0;
while a<30;
if(z_i>=0)
d=1;
else
d=-1;
end
x_temp_i = x_i;
x_i = x_temp_i - (y_i*d*(2^-a));
y_i = y_i + (x_temp_i*d*(2^-a));
z_i = z_i - (d*(atan(2^-a))*180/pi);
a=a+1;
end
sin = y_i/(sqrt(x_i^2+y_i^2));
cos = x_i/(sqrt(x_i^2+y_i^2));

按照上述公式编写程序，迭代30次。
最终sin30=0.5000；
cos30=0.8660
细心的同学可以观察到，在迭代过程中只含有加减，唯一一个乘运算可以用位移得到。所以通过硬件实现是非常方便的，不得不佩服当时美帝数学家的良苦用心啊！

http://www.cnblogs.com/touchblue/p/3535968.html

舟宇

Cordic算法

初次接粗坐标旋转算法，感觉有些茫然。

如果你和我一样，请一步步听我讲解。

如上图

如图中，直角坐标系中点（X0，Y0）逆时钟旋转角度θ，变换成坐标（X1，Y1）,那么用X0，Y0,以及θ的三角函数，如果表示X1，Y1呢？

请想象，如果坐标也旋转角度θ，那么X1，Y1的坐标依然是(X0，Y0)。接着往下看：

看完以上这副图，就该明白这个等式了：

x1= x0cos θ − y0sin θ
y1= x0sin θ + y0cos θ

再把这个式子化成正切函数。

Cordic 算法的思想是通过迭代的方法，不断的旋转特定的角度，使得累计旋转的角度的和无限接近某一设定的角度，

每次旋转的角度的θ = arctan( 1/(2^n) )；

具体迭代如下表：Z0 =30°，Y0=0，X0 = 0.6073

输入30°，经过9次迭代后， Z0 = 0，Y0=0.5006， X0 = 0.8657

x '(i +1)= ( x 'i− y 'i（σi）2−i)
y '(i +1)= ( x 'i（σi）2−i+ y 'i)

(当 i = 0)
x '1= 0.607 − 0 ⋅ (+1 ) ⋅ 1 = 0.607

y '1= 0.607 ⋅ (+1 ) ⋅ 1 + 0 = 0.607

通过Cordic算法后，得到y9=0.5006 (=sin(30°))

x9=0.8657 (=cos(30°))

所以也可以用cordic算法求出正切值的。

或者求反正切值：

计算公式：

http://blog.csdn.net/liyuanbhu/article/details/8458769

liyuanbhu

三角函数计算，Cordic 算法入门
三角函数的计算是个复杂的主题，有计算机之前，人们通常通过查找三角函数表来计算任意角度的三角函数的值。这种表格在人们刚刚产生三角函数的概念的时候就已经有了，它们通常是通过从已知值（比如sin(π/2)=1）开始并重复应用半角和和差公式而生成。

现在有了计算机，三角函数表便推出了历史的舞台。但是像我这样的喜欢刨根问底的人，不禁要问计算机又是如何计算三角函数值的呢。最容易想到的办法就是利用级数展开，比如泰勒级数来逼近三角函数，只要项数取得足够多就能以任意的精度来逼近函数值。除了泰勒级数逼近之外，还有其他许多的逼近方法，比如切比雪夫逼近、最佳一致逼近和Padé逼近等。
所有这些逼近方法本质上都是用多项式函数来近似我们要计算的三角函数，计算过程中必然要涉及到大量的浮点运算。在缺乏硬件乘法器的简单设备上（比如没有浮点运算单元的单片机），用这些方法来计算三角函数会非常的费时。为了解决这个问题，J. Volder于1959年提出了一种快速算法，称之为CORDIC(COordinate Rotation DIgital Computer) 算法，这个算法只利用移位和加减运算，就能计算常用三角函数值，如Sin，Cos，Sinh，Cosh等函数。 J. Walther在1974年在这种算法的基础上进一步改进，使其可以计算出多种超越函数，更大的扩展了Cordic 算法的应用。因为Cordic 算法只用了移位和加法，很容易用纯硬件来实现，因此我们常能在FPGA运算平台上见到它的身影。不过，大多数的软件程序员们都没有听说过这种算法，也更不会主动的去用这种算法。其实，在嵌入式软件开发，尤其是在没有浮点运算指令的嵌入式平台（比如定点型DSP）上做开发时，还是会遇上可以用到Cordic 算法的情况的，所以掌握基本的Cordic算法还是有用的。

从二分查找法说起
先从一个例子说起，知道平面上一点在直角坐标系下的坐标（X,Y）=（100，200），如何求的在极坐标系下的坐标（ρ,θ）。用计算器计算一下可知答案是（223.61，63.435）。

图 1 直角坐标系到极坐标系的转换
为了突出重点，这里我们只讨论X和Y都为正数的情况。这时θ=atan(y/x)。求θ的过程也就是求atan 函数的过程。Cordic算法采用的想法很直接，将（X，Y）旋转一定的度数，如果旋转完纵坐标变为了0，那么旋转的度数就是θ。坐标旋转的公式可能大家都忘了，这里把公式列出了。设（x,y）是原始坐标点，将其以原点为中心，顺时针旋转θ之后的坐标记为（x’,y’）,则有如下公式：

也可以写为矩阵形式：

如何旋转呢，可以借鉴二分查找法的思想。我们知道θ的范围是0到90度。那么就先旋转45度试试。

旋转之后纵坐标为70.71，还是大于0，说明旋转的度数不够，接着再旋转22.5度（45度的一半）。

这时总共旋转了45+22.5=67.5度。结果纵坐标变为了负数，说明θ<67.5度，这时就要往回转，还是二分查找法的思想，这次转11.25度。

这时总共旋转了45+22.5-11.25=56.25度。又转过头了，接着旋转，这次顺时针转5.625度。

这时总共旋转了45+22.5-11.25+5.625=61.875度。这时纵坐标已经很接近0了。我们只是说明算法的思想，因此就不接着往下计算了。计算到这里我们给的答案是 61.875±5.625。二分查找法本质上查找的是一个区间，因此我们给出的是θ值的一个范围。同时，坐标到原点的距离ρ也求出来了，ρ=223.52。与标准答案比较一下计算的结果还是可以的。旋转的过程图示如下。

可能有读者会问，计算中用到了 sin 函数和 cos 函数，这些值又是怎么计算呢。很简单，我们只用到很少的几个特殊点的sin 函数和 cos 函数的值，提前计算好存起来，用时查表。
下面给出上面方法的C 语言实现。
[cpp] view plaincopy

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
double my_atan2(double x, double y);
int main(void)
{
double z = my_atan2(100.0, 200.0);
printf("\n z = %f \n", z);
return 0;
}
double my_atan2(double x, double y)
{
const double sine[] = {0.7071067811865,0.3826834323651,0.1950903220161,0.09801714032956,
0.04906767432742,0.02454122852291,0.01227153828572,0.006135884649154,0.003067956762966
,0.001533980186285,7.669903187427045e-4,3.834951875713956e-4,1.917475973107033e-4,
9.587379909597735e-5,4.793689960306688e-5,2.396844980841822e-5
};
const double cosine[] = {0.7071067811865,0.9238795325113,0.9807852804032,0.9951847266722,
0.9987954562052,0.9996988186962,0.9999247018391,0.9999811752826,0.9999952938096,
0.9999988234517,0.9999997058629,0.9999999264657,0.9999999816164,0.9999999954041,
0.999999998851,0.9999999997128
};
int i = 0;
double x_new, y_new;
double angleSum = 0.0;
double angle = 45.0;
for(i = 0; i < 15; i++)
{
if(y > 0)
{
x_new = x * cosine + y * sine;
y_new = y * cosine - x * sine;
x = x_new;
y = y_new;
angleSum += angle;
}
else
{
x_new = x * cosine - y * sine;
y_new = y * cosine + x * sine;
x = x_new;
y = y_new;
angleSum -= angle;
}
printf("Debug: i = %d angleSum = %f, angle = %f\n", i, angleSum, angle);
angle /= 2;
}
return angleSum;
}

程序运行的输出结果如下：
[plain] view plaincopy

Debug: i = 0 angleSum = 45.000000, angle = 45.000000
Debug: i = 1 angleSum = 67.500000, angle = 22.500000
Debug: i = 2 angleSum = 56.250000, angle = 11.250000
Debug: i = 3 angleSum = 61.875000, angle = 5.625000
Debug: i = 4 angleSum = 64.687500, angle = 2.812500
Debug: i = 5 angleSum = 63.281250, angle = 1.406250
Debug: i = 6 angleSum = 63.984375, angle = 0.703125
Debug: i = 7 angleSum = 63.632813, angle = 0.351563
Debug: i = 8 angleSum = 63.457031, angle = 0.175781
Debug: i = 9 angleSum = 63.369141, angle = 0.087891
Debug: i = 10 angleSum = 63.413086, angle = 0.043945
Debug: i = 11 angleSum = 63.435059, angle = 0.021973
Debug: i = 12 angleSum = 63.424072, angle = 0.010986
Debug: i = 13 angleSum = 63.429565, angle = 0.005493
Debug: i = 14 angleSum = 63.432312, angle = 0.002747

z = 63.432312

减少乘法运算现在已经有点 Cordic 算法的样子了，但是我们看到没次循环都要计算 4 次浮点数的乘法运算，运算量还是太大了。还需要进一步的改进。改进的切入点当然还是坐标变换的过程。我们将坐标变换公式变一下形。

可以看出 cos(θ)可以从矩阵运算中提出来。我们可以做的再彻底些，直接把 cos(θ) 给省略掉。

省略cos(θ)后发生了什么呢，每次旋转后的新坐标点到原点的距离都变长了，放缩的系数是1/cos(θ)。不过没有关系，我们求的是θ，不关心ρ的改变。这样的变形非常的简单，但是每次循环的运算量一下就从4次乘法降到了2次乘法了。
还是给出 C 语言的实现：
[cpp] view plaincopy

double my_atan3(double x, double y)
{
const double tangent[] = {1.0,0.4142135623731,0.1989123673797,0.09849140335716,0.04912684976947,
0.02454862210893,0.01227246237957,0.006136000157623,0.003067971201423,
0.001533981991089,7.669905443430926e-4,3.83495215771441e-4,1.917476008357089e-4,
9.587379953660303e-5,4.79368996581451e-5,2.3968449815303e-5
                     };


int i = 0;
double x_new, y_new;
double angleSum = 0.0;
double angle = 45.0;

for(i = 0; i < 15; i++)
{
      if(y > 0)
      {
         x_new = x + y * tangent;
         y_new = y - x * tangent;
         x = x_new;
         y = y_new;
         angleSum += angle;
      }
      else
      {
         x_new = x - y * tangent;
         y_new = y + x * tangent;
         x = x_new;
         y = y_new;
         angleSum -= angle;
      }
      printf("Debug: i = %d angleSum = %f, angle = %f, ρ = %f\n", i, angleSum, angle, hypot(x,y));
      angle /= 2;
}
return angleSum;
}

计算的结果是：
[plain] view plaincopy

Debug: i = 0 angleSum = 45.000000, angle = 45.000000, ρ = 316.227766
Debug: i = 1 angleSum = 67.500000, angle = 22.500000, ρ = 342.282467
Debug: i = 2 angleSum = 56.250000, angle = 11.250000, ρ = 348.988177
Debug: i = 3 angleSum = 61.875000, angle = 5.625000, ρ = 350.676782
Debug: i = 4 angleSum = 64.687500, angle = 2.812500, ρ = 351.099697
Debug: i = 5 angleSum = 63.281250, angle = 1.406250, ρ = 351.205473
Debug: i = 6 angleSum = 63.984375, angle = 0.703125, ρ = 351.231921
Debug: i = 7 angleSum = 63.632813, angle = 0.351563, ρ = 351.238533
Debug: i = 8 angleSum = 63.457031, angle = 0.175781, ρ = 351.240186
Debug: i = 9 angleSum = 63.369141, angle = 0.087891, ρ = 351.240599
Debug: i = 10 angleSum = 63.413086, angle = 0.043945, ρ = 351.240702
Debug: i = 11 angleSum = 63.435059, angle = 0.021973, ρ = 351.240728
Debug: i = 12 angleSum = 63.424072, angle = 0.010986, ρ = 351.240734
Debug: i = 13 angleSum = 63.429565, angle = 0.005493, ρ = 351.240736
Debug: i = 14 angleSum = 63.432312, angle = 0.002747, ρ = 351.240736

z = 63.432312

消除乘法运算我们已经成功的将乘法的次数减少了一半，还有没有可能进一步降低运算量呢？还要从计算式入手。

第一次循环时，tan(45)=1，所以第一次循环实际上是不需要乘法运算的。第二次运算呢？
Tan(22.5)=0.4142135623731,很不幸，第二次循环乘数是个很不整的小数。是否能对其改造一下呢？答案是肯定的。第二次选择22.5度是因为二分查找法的查找效率最高。如果选用个在22.5到45度之间的值，查找的效率会降低一些。如果稍微降低一点查找的效率能让我们有效的减少乘法的次数，使最终的计算速度提高了，那么这种改进就是值得的。
我们发现tan(26.565051177078)=0.5，如果我们第二次旋转采用26.565051177078度，那么乘数变为0.5，如果我们采用定点数运算的话（没有浮点协处理器时为了加速计算我们会大量的采用定点数算法）乘以0.5就相当于将乘数右移一位。右移运算是很快的，这样第二次循环中的乘法运算也被消除了。
类似的方法，第三次循环中不用11.25度，而采用 14.0362434679265 度。
Tan(14.0362434679265)= 1/4
乘数右移两位就可以了。剩下的都以此类推。
[plain] view plaincopy

tan(45)= 1
tan(26.565051177078)= 1/2
tan(14.0362434679265)= 1/4
tan(7.1250163489018)= 1/8
tan(3.57633437499735)= 1/16
tan(1.78991060824607)= 1/32
tan(0.8951737102111)= 1/64
tan(0.4476141708606)= 1/128
tan(0.2238105003685)= 1/256

还是给出C语言的实现代码，我们采用循序渐进的方法，先给出浮点数的实现（因为用到了浮点数，所以并没有减少乘法运算量，查找的效率也比二分查找法要低，理论上说这个算法实现很低效。不过这个代码的目的在于给出算法实现的示意性说明，还是有意义的）。
[cpp] view plaincopy

double my_atan4(double x, double y)
{
const double tangent[] = {1.0, 1 / 2.0, 1 / 4.0, 1 / 8.0, 1 / 16.0,
                           1 / 32.0, 1 / 64.0, 1 / 128.0, 1 / 256.0, 1 / 512.0,
                           1 / 1024.0, 1 / 2048.0, 1 / 4096.0, 1 / 8192.0, 1 / 16384.0
                           };
const double angle[] = {45.0, 26.565051177078, 14.0362434679265, 7.1250163489018, 3.57633437499735,
                        1.78991060824607, 0.8951737102111, 0.4476141708606, 0.2238105003685, 0.1119056770662,
                        0.0559528918938, 0.027976452617, 0.01398822714227, 0.006994113675353, 0.003497056850704
                        };

int i = 0;
double x_new, y_new;
double angleSum = 0.0;

for(i = 0; i < 15; i++)
{
      if(y > 0)
      {
         x_new = x + y * tangent;
         y_new = y - x * tangent;
         x = x_new;
         y = y_new;
         angleSum += angle;
      }
      else
      {
         x_new = x - y * tangent;
         y_new = y + x * tangent;
         x = x_new;
         y = y_new;
         angleSum -= angle;
      }
      printf("Debug: i = %d angleSum = %f, angle = %f, ρ = %f\n", i, angleSum, angle, hypot(x, y));
}
return angleSum;
}

程序运行的输出结果如下：
[plain] view plaincopy

Debug: i = 0 angleSum = 45.000000, angle = 45.000000, ρ = 316.227766
Debug: i = 1 angleSum = 71.565051, angle = 26.565051, ρ = 353.553391
Debug: i = 2 angleSum = 57.528808, angle = 14.036243, ρ = 364.434493
Debug: i = 3 angleSum = 64.653824, angle = 7.125016, ρ = 367.270602
Debug: i = 4 angleSum = 61.077490, angle = 3.576334, ρ = 367.987229
Debug: i = 5 angleSum = 62.867400, angle = 1.789911, ρ = 368.166866
Debug: i = 6 angleSum = 63.762574, angle = 0.895174, ρ = 368.211805
Debug: i = 7 angleSum = 63.314960, angle = 0.447614, ρ = 368.223042
Debug: i = 8 angleSum = 63.538770, angle = 0.223811, ρ = 368.225852
Debug: i = 9 angleSum = 63.426865, angle = 0.111906, ρ = 368.226554
Debug: i = 10 angleSum = 63.482818, angle = 0.055953, ρ = 368.226729
Debug: i = 11 angleSum = 63.454841, angle = 0.027976, ρ = 368.226773
Debug: i = 12 angleSum = 63.440853, angle = 0.013988, ρ = 368.226784
Debug: i = 13 angleSum = 63.433859, angle = 0.006994, ρ = 368.226787
Debug: i = 14 angleSum = 63.437356, angle = 0.003497, ρ = 368.226788

z = 63.437356

有了上面的准备，我们可以来讨论定点数算法了。所谓定点数运算，其实就是整数运算。我们用256 表示1度。这样的话我们就可以精确到1/256=0.00390625 度了，这对于大多数的情况都是足够精确的了。256 表示1度，那么45度就是 45*256 = 115200。其他的度数以此类推。

序号
度数
×256
取整

1
45.0
11520
11520

2
26.565051177078
6800.65310133196
6801

3
14.0362434679265
3593.27832778918
3593

4
7.1250163489018
1824.00418531886
1824

5
3.57633437499735
915.541599999322
916

6
1.78991060824607
458.217115710994
458

7
0.8951737102111
229.164469814035
229

8
0.4476141708606
114.589227740302
115

9
0.2238105003685
57.2954880943458
57

10
0.1119056770662
28.647853328949
29

11
0.0559528918938
14.3239403248137
14

12
0.027976452617
7.16197186995294
7

13
0.01398822714227
3.58098614841984
4

14
0.006994113675353
1.79049310089035
2

15
0.003497056850704
0.8952465537802
1

C 代码如下：
[cpp] view plaincopy

int my_atan5(int x, int y)
{
const int angle[] = {11520, 6801, 3593, 1824, 916, 458, 229, 115, 57, 29, 14, 7, 4, 2, 1};

int i = 0;
int x_new, y_new;
int angleSum = 0;

x *= 1024;// 将 X Y 放大一些，结果会更准确
y *= 1024;

for(i = 0; i < 15; i++)
{
      if(y > 0)
      {
         x_new = x + (y >> i);
         y_new = y - (x >> i);
         x = x_new;
         y = y_new;
         angleSum += angle;
      }
      else
      {
         x_new = x - (y >> i);
         y_new = y + (x >> i);
         x = x_new;
         y = y_new;
         angleSum -= angle;
      }
      printf("Debug: i = %d angleSum = %d, angle = %d\n", i, angleSum, angle);
}
return angleSum;
}

计算结果如下：
[plain] view plaincopy

Debug: i = 0 angleSum = 11520, angle = 11520
Debug: i = 1 angleSum = 18321, angle = 6801
Debug: i = 2 angleSum = 14728, angle = 3593
Debug: i = 3 angleSum = 16552, angle = 1824
Debug: i = 4 angleSum = 15636, angle = 916
Debug: i = 5 angleSum = 16094, angle = 458
Debug: i = 6 angleSum = 16323, angle = 229
Debug: i = 7 angleSum = 16208, angle = 115
Debug: i = 8 angleSum = 16265, angle = 57
Debug: i = 9 angleSum = 16236, angle = 29
Debug: i = 10 angleSum = 16250, angle = 14
Debug: i = 11 angleSum = 16243, angle = 7
Debug: i = 12 angleSum = 16239, angle = 4
Debug: i = 13 angleSum = 16237, angle = 2
Debug: i = 14 angleSum = 16238, angle = 1

z = 16238

16238/256=63.4296875度，精确的结果是63.4349499度，两个结果的差为0.00526，还是很精确的。

到这里 CORDIC 算法的最核心的思想就介绍完了。当然，这里介绍的只是CORDIC算法最基本的内容，实际上，利用CORDIC 算法不光可以计算 atan 函数，其他的像 Sin，Cos，Sinh，Cosh 等一系列的函数都可以计算，不过那些都不在本文的讨论范围内了。另外，每次旋转时到原点的距离都会发生变化，而这个变化是确定的，因此可以在循环运算结束后以此补偿回来，这样的话我们就同时将（ρ,θ）都计算出来了。
想进一步深入学习的可以阅读 John Stephen Walther 于2000年发表在 Journal of VLSI signal processing systems for signal, image and video technology上的综述性文章“The Story of Unified Cordic”。

676078451 · 发表于 2014-8-14 21:17:19

不错不错

woaidabaobao · 发表于 2014-8-14 22:43:52

都是公式，晕！！！

mvppgr · 发表于 2016-5-4 00:42:23

小弟这一阵子也在弄这个cordic，现在sin cos可以弄出来，但是利用向量模式下的线性cordic来进一步求出tan和ctg却遇到问题了，关于迭代公式中要用到2^-i次方并不能像sincos那样直接移位解决（用verilog来写的），不知道大神有没有解决办法

[其他] 三个帖子入门CORDIC算法

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