抗混叠滤波器：将采样理论应用于ADC设计

xiaocaihong

本文研究了Nyquist-Shannon采样定理的一个重要方面，并解释了它与模数转换中抗混叠滤波器需求的联系。
到目前为止，我们已经探索了Nyquist-Shannon定理的理论基础，包括频域对采样的影响。然后，我们探讨了这些基本原理如何应用于现实生活的电路设计中，特别是解决了现实生活中的混合信号系统中过采样的重要性  。


在整个系列中，我使用的采样定理的版本都指出，当采样率等于或大于原始信号最高频率（不是感兴趣的频率，不是主导频率）的两倍时，就可以进行完美重构。但频率最高。
这个看似无害的小细节实际上在理论采样和实际A / D转换之间造成了重大分歧。

信号的最高频率是多少？采样定理的第一个问题是，您将永远无法以最高频率的两倍进行采样：由于热噪声（在太赫兹范围内具有恒定的功率谱密度），每个信号的带宽都远远超过了模拟能力到数字转换器。
当然，我并不是说所有信号在1 THz处都有一点噪声，因此不存在混合信号电子设备。而是，我试图戏剧性地演示观察信号的傅立叶变换，画一条垂直线并声明频谱在该线右边完全为空的可能性。
噪声，干扰和自然现象的逐渐变化特征都对信号频谱产生了影响，这些信号频谱没有易于识别的最高频率。

高频分量和混叠为什么我们不能仅仅忽略那些麻烦的频率分量？我们并不是要对它们进行数字化，我们也不需要分析或记录它们-只需忽略它们，然后根据我们想要的频率选择采样率即可！
我希望它是如此简单，但是我们必须记住，模拟输入频率超过采样频率的一半时会引起混叠-顺便说一下，有时也称为折叠频率，因为高于该频率的分量会围绕采样频率折叠因此与原始光谱重叠。我们不能简单地忽略折叠频率以上的分量，因为它们将与感兴趣的频率混合在一起，从而消除了我们完美重构原始信号的能力。
考虑下图：



假设频谱的主要钟形部分包含感兴趣的频率，而逐渐衰减为零的低振幅尾巴则表示不重要的高频分量。
在该系统中选择的采样率足以捕获感兴趣的频率，但是我们不能忽略不重要的频率，因为混叠会导致不重要的频率扩展到想要精确重构的频谱部分并使之失真。
但是，忽略不重要频率的想法实际上是我们在工程系统中处理此问题的基础。归根结底，我们必须忽略不想要的高频，因为我们无法完全消除它们。但是在忽略它们之前，我们至少应该做出一些努力来减轻它们对系统性能的有害影响。
这就是抗混叠滤波器起作用的地方。

采样前过滤香农的采样定理规定了相对于信号最高频率的最小可接受采样率。换一种说法是，香农给我们提供了对带限信号（即，其傅里叶变换具有可识别的上限的信号）的采样率的要求。
我们在物理电路中发现的信号并不是真正的带宽限制，但是我们还是决心对它们进行采样，因此，我们将尝试使它们成为带宽限制。这是抗混叠滤波器的目的。
通过在采样之前使信号通过低通滤波器，我们可以衰减指定频率以上的频谱内容，从而创建一个上限频率。



由于现实生活中的滤波器不会在截止频率以上产生无限的衰减，因此信号将不会成为完美的带宽限制。但是，它可以足够接近带宽限制：会发生混叠，但是其对整体系统性能的影响可以忽略不计。

我们如何选择截止频率？这将取决于各种因素。总体思路是保留频谱的重要部分并抑制不重要的部分。然后，根据要衰减多少频率分量来选择ADC采样率，这些频率分量将混叠到感兴趣的频谱中。
假设您使用一阶RC低通滤波器作为抗混叠滤波器，其截止频率为20 kHz。频率响应如下所示：



如果以100 kHz采样，则折叠频率为50 kHz：高于50 kHz的所有频率都会导致混叠误差。因此，使用该滤波器，“混叠频带”将具有9 dB的最小衰减。
够了吗？
这个问题没有简单的答案，无论如何，答案取决于系统要求。
尽管如此，我的工程直觉告诉我，我们应该努力将混叠频带的幅度至少减小一个数量级。该一阶RC滤波器在200 kHz处给我们20 dB的衰减，因此我们需要在400 kHz处进行采样。在我喜欢使用的ADC的背景下，这是一个相当高的采样率，即那些可以方便地集成到微控制器中的ADC 。因此，我可能必须放宽对衰减的要求，或者我可以考虑对抗混叠滤波器使用二阶拓扑。

结论顾名思义，抗混叠滤波器可减少对信号采样时发生的混叠量。他们通过抑制高于折叠频率的频谱内容来做到这一点，从而使现实生活中的信号与香农采样定理所适用的带限信号更加一致。
尽管可以通过提高采样率来降低抗混叠滤波器的要求，但我认为，在ADC电路中始终至少包括一个基本的RC滤波器是一种很好的做法。